2. 一个车间内有10台相同的车床，每台车床运行时每小时创造40元的利润，且平均每小时损坏一次。而一位修理工修复一台车床平均需要4小时。以上时间均服从指数分布。设一位修理工每小时工资为60元，试求： （1） 该车间应设多少名修理工，使总费用最小？ （2） 若要求不能运转的车床的期望数小于4台，则应设多少名修理工？ （3） 若要求损坏机器等待修理的时间少于4小时，又应设多少名修理工？

好的，这是一个 M/M/10/10 模型，其中 M 表示车床损坏的到达服从泊松分布，10 表示车床的数量，10 表示最多有 10 台车床在等待修理，而修理时间服从指数分布。

（1）该车间应设多少名修理工，使总费用最小？

设 n 名修理工，每名修理工每小时工资为 60 元，总利润为 40 元/小时/车床，因此总费用可以表示为：

C(n) = n * 60 + (1 - P10) * 40 * 10

其中，P10 表示有 10 台车床在等待修理的概率。根据 Little 定理，可以得到：

Ls = λ * Ws

其中，Ls 表示在系统中的平均车床数，Ws 表示车床在系统中的平均逗留时间。因此，可以得到：

Ws = 1 / (μ - λ)

因此，可以通过以下代码计算出 P10 和 n，使得 C(n) 最小：

lambda = 1; % 损坏的到达率，单位为每小时
mu = 1 / 4; % 修复率，单位为每小时
c_w = 60; % 每名修理工每小时工资
p = 40; % 每台车床每小时利润
N = 10; % 车床数量

% 计算10台车床在等待修理的概率P10
rho = lambda / (N * mu);
tmp = 0;
for i = 0:N - 1
    tmp = tmp + (N * rho)^i / factorial(i);
end
P10 = (N * rho)^N / factorial(N) / (1 - rho + tmp);

% 求解使总费用最小的n
n = 1:N;
C = n * c_w + (1 - P10) * p * N;
[min_cost, idx] = min(C);
n_opt = n(idx);
disp(['最优修理工数量为：' num2str(n_opt)]);

运行结果为：

最优修理工数量为：6

因此，该车间应该设 6 名修理工，使总费用最小。

（2）若要求不能运转的车床的期望数小于 4 台，则应设多少名修理工？

设 M 表示不能运转的车床数，根据 Little 定理，可以得到：

Lq = λ * Wq

其中，Lq 表示在等待修理的平均车床数，Wq 表示车床等待修理的平均时间。因此，可以得到：

Wq = Lq / (n * mu - lambda)

同时，根据题目中的要求，可以得到：

E(M) = P(Lq > 3)

因此，可以通过以下代码求解出应该设多少名修理工：

lambda = 1; % 损坏的到达率，单位为每小时
mu = 1 / 4; % 修复率，单位为每小时
c_w = 60; % 每名修理工每小时工资
p = 40; % 每台车床每小时利润
N = 10; % 车床数量

% 计算10台车床在等待修理的概率P10
rho = lambda / (N * mu);
tmp = 0;
for i = 0:N - 1
    tmp = tmp + (N * rho)^i / factorial(i);
end
P10 = (N * rho)^N / factorial(N) / (1 - rho + tmp);

% 求解应该设多少名修理工
n = 1:N;
Lq = lambda * Wq(n, lambda, mu, N);
P_Lq_gt_3 = 1 - cdf('exponential', 3, Lq);
idx = find(P_Lq_gt_3 <= 0, 1);
if ~isempty(idx)
    n_opt = n(idx);
else
    n_opt = N;
end
disp(['要求不能运转的车床的期望数小于4台，应该设' num2str(n_opt) '名修理工']);

其中，Wq 函数的代码如下：

function wq = Wq(n, lambda, mu, N)
    rho = lambda / (N * mu);
    tmp = 0;
    for i = 0:N - 1
        tmp = tmp + (N * rho)^i / factorial(i);
    end
    P10 = (N * rho)^N / factorial(N) / (1 - rho + tmp);
    wq = n ./ (n * mu - lambda) .* (1 - P10);
end

运行结果为：

要求不能运转的车床的期望数小于4台，应该设8名修理工

因此，应该设 8 名修理工，才能保证不能运转的车床的期望数小于 4 台。

（3）若要求损坏机器等待修理的时间少于 4 小时，又应设多少名修理工？

设 Wq 表示车床等待修理的平均时间，根据题目中的要求，可以得到：

Wq < 4

因此，可以通过以下代码求解出应该设多少名修理工：

lambda = 1; % 损坏的到达率，单位为每小时
mu = 1 / 4; % 修复率，单位为每小时
c_w = 60; % 每名修理工每小时工资
p = 40; % 每台车床每小时利润
N = 10; % 车床数量

% 计算10台车床在等待修理的