<G,*>是n阶循环群,a是生成元,证明:对于任意n的因子d,唯一存在G的d阶子群
时间: 2024-01-24 15:19:01 浏览: 35
首先,对于任意n的因子d,我们可以构造一个d阶子群H,使得H={a^i | i=0,1,...,(n/d)-1}。显然,H中的元素互不相同且H是G的子集,因此只需要证明H是一个子群即可。
首先,H中的单位元为a^0=1。其次,对于H中的任意两个元素a^i和a^j,它们的乘积为a^(i+j),由于G是循环群,因此i+j对n取模后得到的结果也在H中,即a^(i+j)∈H。再次,对于H中任意一个元素a^i,它的逆元为a^(n-i),因为a^(i+(n-i))=a^n=1,因此a^(n-i)是a^i的逆元且也在H中。
因此,H满足群的四个条件,即H是G的子群,同时由于d是n的因子,因此H的阶数即为d。因此,对于任意n的因子d,唯一存在G的d阶子群H,而且H就是我们构造的那个子群。
相关问题
设A={a, b, c},<A, *>是循环群,a是单位元,b是生成元,则b的三次方为
由于b是生成元,所以群中的任何元素都可以用b的幂次表示。因为<A, *>是循环群,所以b的幂次必须在A的元素中循环,即b^3必须等于A中的某个元素。
又因为a是单位元,所以b^0=a。又因为b是生成元,所以b^1=b,b^2不等于a。因此b^3=b^2*b不等于a,所以b^3=c。所以b的三次方为c。
设(G,*)=(a)是n阶循环群,b=ak,kZ,证明 元素b是群G的生成元素,当且仅当n和k互素 (提示:若n与k互素,则存在整数p与q,使得pn+qk=1)
证明:
首先,如果n和k不互质,则存在正整数d使得n=md,k=nd,其中m和d均为正整数。那么b=ak=(a^d)^m,即b是(a^d)的m次幂,因此b不能是群G的生成元素。
接下来,假设n和k互质,我们要证明b是群G的生成元素。由于n阶循环群G中有且仅有n个元素,因此b的阶必定是n。也就是说,对于任意正整数m,b^m≠e(其中e表示G中的单位元素),否则b的阶不可能是n。
接下来,我们需要证明,对于任意元素a^i(i=1,2,...,n-1),都可以表示成b的幂次。考虑使用反证法,假设存在某个元素a^i不能表示成b的幂次。由于a^i是G的一个元素,因此它肯定属于某个子群H=<a^d>(其中d=gcd(i,n)),那么H的阶为n/d。又因为b是G的一个元素,因此b也属于H,而且b的阶为n。因此,存在正整数x和y,使得b^n=(a^d)^x,a^i=(a^d)^y。根据提示,由于n和k互质,存在整数p和q,使得pn+qk=1。那么有:
(a^d)^y = a^i = a^(qn+pd)y = (a^q)^n^y * (a^d)^p^y
因此,我们可以得到:
(a^q)^n^y = (a^d)^(y-p^yn)
因为a和a^q都是G中的元素,所以它们的阶都是n。因此,左右两边都是n阶元素的n次幂,它们相等当且仅当它们相等的阶是n。因此,我们可以得出:
y-p^yn ≡ 0 (mod n)
由于p和q的存在,我们可以得到:
pn+qk=1
qn ≡ 1 (mod n)
因此,存在正整数y',使得y=yn'+d。将其代入上面的式子中,我们可以得到:
yn' ≡ -p^yn' (mod n/d)
因为n和k互质,所以n和n/d也互质,因此我们可以将上式两边同时乘以p^n'y',得到:
(p^n'y')(yn'+1) ≡ 0 (mod n/d)
因为p和n/d互质,所以p^n'y'和yn'+1也互质。因此,我们可以得到:
yn'+1 ≡ 0 (mod n/d)
这意味着d|1,即d=1,而i和n互质,因此i和k也互质。因此,我们可以得到:
b^m = b^(mx+ny) = (a^k)^x * (a^n)^y = a^(kx+ny)
因此,任意元素a^i都可以表示成b的幂次,因此b是群G的生成元素。
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