9阶循环群G={e,g,g^2,g^3,...,g^8}的所有生成元
时间: 2024-05-21 12:17:39 浏览: 13
我们知道,循环群中只有生成元才能生成整个群。对于9阶循环群G,的生成元必须满足以下条件:
1 生成元必须是G的一个元素;
2 该元素的(order)等于G阶;
3. 该元素的幂(exponent)从1开始一直到G的阶-1时,依次得到G中的所有元素。
根据这些条件,我们可以列出G中所有的生成元:
1. g:由于G是循环群,所以g是一个生成元;
2. g^2:由于(g^2)^4 = g^8 = e,所以g^2的阶为4,符合条件2;又因为g^2, g^4, g^6, g^8均为G中的元素,所以g^2也符合条件3;
3. g^3:由于(g^3)^3 = g^9 = g,所以g^3的阶为3,符合条件2;又因为g^3, g^6, g^9=e, 所以g^3也符合条件3;
4. g^4:由于(g^4)^2 = g^8 = e,所以g^4的阶为2,符合条件2;又因为g^4, g^8=e, 所以g^4也符合条件3;
5. g^5:由于(g^5)^3 = g^15 = g^6,所以g^5的阶为3,符合条件2;又因为g^5, g^6, g^8, g^3都是G中的元素,所以g^5也符合条件3;
6. g^7:由于(g^7)^2 = g^14 = g^5,所以g^7的阶为2,符合条件2;又因为g^7, g^5, g^8, g^4都是G中的元素,所以g^7也符合条件3。
因此,G中所有的生成元为:g, g^2, g^3, g^4, g^5, g^7。
相关问题
怎么求9阶循环群G={e,g,g^2,g^3,...,g^8}的所有生成元
对于循环群$G$,可以任选一个生成元$g$,然后求出$g^2,g^3,...,g^8$,这些元素也是$G$的生成元。因为$g$能够生成整个群$G$,所以$g^2,g^3,...,g^8$也能够生成整个群$G$。因此,$G$的所有生成元为$\{g,g^2,g^3,...,g^8\}$。
需要注意的是,循环群是一种特殊的群,只有一个生成元。因此,循环群中的所有元素都可以用生成元的幂次表示出来。在本题中,$G$中的每个元素都可以表示为$g^k$的形式,其中$k\in\{0,1,2,...,8\}$。
循环群G={e,g,g^2,g^3,...,g^11}中元素g^4的阶是
对于循环群 $G=\{e,g,g^2,\ldots,g^{11}\}$,其中 $g^4$ 是 $G$ 的一个元素,我们可以通过以下公式计算其阶:
$$
\text{ord}(g^4) = \frac{n}{\gcd(n,k)}
$$
其中,$n=12$ 是循环群 $G$ 的阶,$k=4$ 是 $g^4$ 的指数。因此,我们需要计算 $\gcd(12,4)$:
$$
\begin{aligned}
\gcd(12,4) &= \gcd(2^2\cdot3,2^2) \\
&= 2^2 \\
&= 4
\end{aligned}
$$
接着,我们可以代入公式计算 $g^4$ 的阶:
$$
\begin{aligned}
\text{ord}(g^4) &= \frac{n}{\gcd(n,k)} \\
&= \frac{12}{4} \\
&= 3
\end{aligned}
$$
因此,$g^4$ 的阶为 $3$。
相关推荐
![zip](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083736.png)
![pptx](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083543.png)
![ppt](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083527.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)