证明有限循环群同构于模n的加法群Zn，证明无限循环群同构于整数加法群Z，同态同构kerf的定义

证明有限循环群同构于模n的加法群Zn：

假设G是一个有限循环群，生成元为a，|G|=k。那么，对于任意一个元素g∈G，都可以表示为a^m，其中0≤m<k。因此，我们可以定义一个映射f:G→Zn，使得f(a^m)=m(mod n)，其中n=k。此时，我们需要证明这个映射是一个同构映射。

首先，我们证明这个映射是一个同态映射。对于任意的a^m和a^n，我们有：

f(a^m+a^n)=f(a^(m+n))=m+n(mod n)=f(a^m)+f(a^n)(mod n)

因此，这个映射是一个同态映射。

其次，我们证明这个映射是一个满射。对于任意一个元素m∈Zn，我们可以找到一个元素a^m∈G，使得f(a^m)=m(mod n)。因此，这个映射是一个满射。

最后，我们证明这个映射是一个单射。如果对于不同的元素a^m和a^n，有f(a^m)=f(a^n)，那么m=n(mod n)，因此a^(m-n)是G的一个非零元素，但它的阶k不能整除n。这与n=k矛盾，因此这个映射是一个单射。

综上所述，这个映射是一个同构映射，因此有限循环群同构于模n的加法群Zn。

证明无限循环群同构于整数加法群Z：

假设G是一个无限循环群，生成元为a。那么，对于任意一个元素g∈G，都可以表示为a^m，其中m是整数。因此，我们可以定义一个映射f:G→Z，使得f(a^m)=m。此时，我们需要证明这个映射是一个同构映射。

首先，我们证明这个映射是一个同态映射。对于任意的a^m和a^n，我们有：

f(a^m+a^n)=f(a^(m+n))=m+n=f(a^m)+f(a^n)

因此，这个映射是一个同态映射。

其次，我们证明这个映射是一个满射。对于任意一个整数m∈Z，我们可以找到一个元素a^m∈G，使得f(a^m)=m。因此，这个映射是一个满射。

最后，我们证明这个映射是一个单射。如果对于不同的元素a^m和a^n，有f(a^m)=f(a^n)，那么m=n，因此a^(m-n)是G的一个非零元素。由于G是无限循环群，a^(m-n)的阶不可能有限，因此m-n=0，即m=n。因此，这个映射是一个单射。

综上所述，这个映射是一个同构映射，因此无限循环群同构于整数加法群Z。

同态同构kerf的定义：

设f:G→H是一个群的同态映射，其中G和H是两个群。我们定义ker(f)为G的一个子群，使得ker(f)={g∈G|f(g)=e}，其中e是H的单位元。此时，我们称G和ker(f)同态同构。