有限循环群与什么同构,无限循环群与什么同构,解释一下kerf
时间: 2023-07-15 22:10:21 浏览: 198
有限循环群是指由一个元素生成的群,其中元素的次数是有限的。例如,一个由模n的整数组成的群,其生成元素可以是1,且它的次数为n。有限循环群同构于模n的加法群Zn。
无限循环群是指由一个元素生成的群,其中元素的次数是无限的。例如,一个由整数组成的群,其生成元素可以是1,其次数则为正整数。无限循环群同构于整数加法群Z。
kerf是指函数f的核(ker),也就是函数f的输入中被映射为0的元素的集合。换句话说,kerf是所有使得f(x) = 0的x的集合。在群论中,如果一个群的元素a被映射到另一个群的元素b,则a属于kerf的充要条件是b属于f的像的恒等元素。
相关问题
证明有限循环群同构于模n的加法群Zn,证明无限循环群同构于整数加法群Z,同态同构kerf的定义
证明有限循环群同构于模n的加法群Zn:
假设G是一个有限循环群,生成元为a,|G|=k。那么,对于任意一个元素g∈G,都可以表示为a^m,其中0≤m<k。因此,我们可以定义一个映射f:G→Zn,使得f(a^m)=m(mod n),其中n=k。此时,我们需要证明这个映射是一个同构映射。
首先,我们证明这个映射是一个同态映射。对于任意的a^m和a^n,我们有:
f(a^m+a^n)=f(a^(m+n))=m+n(mod n)=f(a^m)+f(a^n)(mod n)
因此,这个映射是一个同态映射。
其次,我们证明这个映射是一个满射。对于任意一个元素m∈Zn,我们可以找到一个元素a^m∈G,使得f(a^m)=m(mod n)。因此,这个映射是一个满射。
最后,我们证明这个映射是一个单射。如果对于不同的元素a^m和a^n,有f(a^m)=f(a^n),那么m=n(mod n),因此a^(m-n)是G的一个非零元素,但它的阶k不能整除n。这与n=k矛盾,因此这个映射是一个单射。
综上所述,这个映射是一个同构映射,因此有限循环群同构于模n的加法群Zn。
证明无限循环群同构于整数加法群Z:
假设G是一个无限循环群,生成元为a。那么,对于任意一个元素g∈G,都可以表示为a^m,其中m是整数。因此,我们可以定义一个映射f:G→Z,使得f(a^m)=m。此时,我们需要证明这个映射是一个同构映射。
首先,我们证明这个映射是一个同态映射。对于任意的a^m和a^n,我们有:
f(a^m+a^n)=f(a^(m+n))=m+n=f(a^m)+f(a^n)
因此,这个映射是一个同态映射。
其次,我们证明这个映射是一个满射。对于任意一个整数m∈Z,我们可以找到一个元素a^m∈G,使得f(a^m)=m。因此,这个映射是一个满射。
最后,我们证明这个映射是一个单射。如果对于不同的元素a^m和a^n,有f(a^m)=f(a^n),那么m=n,因此a^(m-n)是G的一个非零元素。由于G是无限循环群,a^(m-n)的阶不可能有限,因此m-n=0,即m=n。因此,这个映射是一个单射。
综上所述,这个映射是一个同构映射,因此无限循环群同构于整数加法群Z。
同态同构kerf的定义:
设f:G→H是一个群的同态映射,其中G和H是两个群。我们定义ker(f)为G的一个子群,使得ker(f)={g∈G|f(g)=e},其中e是H的单位元。此时,我们称G和ker(f)同态同构。
循环群G的阶为3,则G同构于
如果循环群 $G$ 的阶为 $3$,那么 $G$ 只能是同构于 $\mathbb{Z}_3$,也就是整数加法模 $3$ 后的剩余类构成的群。因为根据群的定义,如果 $G$ 的阶为 $n$,那么 $G$ 中的每个元素都可以表示成 $g^k$ 的形式,其中 $g$ 是群的生成元,$k \in \{0, 1, \cdots, n-1\}$。在循环群中,$g$ 的幂次可以表示成模 $n$ 意义下的剩余类,而对于循环群 $\mathbb{Z}_n$,剩余类的加法就是群的运算。因此,当 $n=3$ 时,$\mathbb{Z}_3$ 中的元素为 $\{0, 1, 2\}$,群运算为模 $3$ 意义下的加法,满足群的封闭性、结合律、单位元、逆元等群的公理。
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