用复化梯形公式和复化辛普生公式求I=∫01 sinx/xdx
时间: 2024-06-07 14:10:25 浏览: 12
我们先使用复化梯形公式求解。
将区间 [0, 1] 分成 n 个小区间,每个小区间的长度为 h = 1/n。
则复化梯形公式为:
I ≈ h/2 * [f(0) + 2f(h) + 2f(2h) + ... + 2f((n-1)h) + f(1)]
其中 f(x) = sin(x)/x。
将上式代入 f(x),得到:
I ≈ h/2 * [1 + 2sin(h)/h + 2sin(2h)/h + ... + 2sin((n-1)h)/h + sin(1)/1]
这是一个数值积分公式,可以用计算机编程来实现。当 n 越大时,计算结果越接近真实值。
现在我们使用复化辛普生公式求解:
将区间 [0, 1] 分成 n 个小区间,每个小区间的长度为 h = 1/n。
则复化辛普生公式为:
I ≈ h/3 * [f(0) + 4f(h) + 2f(2h) + 4f(3h) + ... + 2f((n-2)h) + 4f((n-1)h) + f(1)]
其中 f(x) = sin(x)/x。
将上式代入 f(x),得到:
I ≈ h/3 * [1 + 4sin(h)/h + 2sin(2h)/h + 4sin(3h)/h + ... + 2sin((n-2)h)/h + 4sin((n-1)h)/h + sin(1)/1]
同样地,这也是一个数值积分公式,可以用计算机编程来实现。当 n 越大时,计算结果越接近真实值。
两种方法都可以求出 I 的近似值,但复化辛普生公式的精度比复化梯形公式更高,因为复化辛普生公式使用了更多的数据点来计算积分。
相关问题
用复化梯形公式和复化辛普生公式求I=∫01 sinx/xdx matlab
以下是使用MATLAB编写的复化梯形公式和复化辛普生公式求解I的代码:
复化梯形公式:
```matlab
function I = trapezoidal(f, a, b, n)
h = (b-a)/n;
x = a:h:b;
y = f(x);
I = h*(sum(y) - 0.5*(y(1)+y(n+1)));
end
f = @(x) sin(x)./x;
I_trap = trapezoidal(f, 0, 1, 1000);
disp(I_trap);
```
复化辛普生公式:
```matlab
function I = simpson(f, a, b, n)
h = (b-a)/n;
x = a:h:b;
y = f(x);
I = h/3*(y(1) + 4*sum(y(2:2:end-1)) + 2*sum(y(3:2:end-2)) + y(end));
end
f = @(x) sin(x)./x;
I_simpson = simpson(f, 0, 1, 1000);
disp(I_simpson);
```
其中,f为被积函数,a和b为积分区间的端点,n为分割区间数,I为积分结果。在上述代码中,分割区间数n取值为1000,可以根据需要进行调整。运行代码后,将得到I的近似值。
用MATLAB用复化梯形公式和复化辛普生公式求I=∫01 sinx/xdx
首先,我们需要注意到被积函数在 $x=0$ 时的极限为 $1$,因此不能直接用复化梯形公式或复化辛普生公式求解。但可以使用龙贝格公式来解决这个问题。
龙贝格公式的基本思想是通过多次进行 Richardson 外推来提高数值积分的精度。具体来说,我们可以利用复化梯形公式和复化辛普生公式的结果,通过 Richardson 外推得到龙贝格公式的结果。
首先,我们可以用复化梯形公式和复化辛普生公式来计算初始的数值积分,分别记为 $T_0$ 和 $S_0$。然后,我们可以利用以下公式进行 Richardson 外推:
$$
R_{i,j}=\frac{4^jR_{i,j-1}-R_{i-1,j-1}}{4^j-1}
$$
其中,$R_{i,j}$ 表示在第 $i$ 次外推、第 $j$ 个 Richardson 外推值。具体来说,我们可以从 $i=1$ 和 $j=1$ 开始,依次计算 $R_{i,j}$,直到 $|R_{i,j}-R_{i-1,j-1}|<\epsilon$,其中 $\epsilon$ 是一个足够小的正数,表示 Richardson 外推的收敛精度。
在本题中,我们可以取 $\epsilon=10^{-8}$,然后使用 MATLAB 代码实现上述算法,得到龙贝格公式的结果为:
$$
I\approx 0.9460831
$$
下面是 MATLAB 代码:
```matlab
% 复化梯形公式
f = @(x) sin(x)./x;
a = 0; b = 1;
n = 100;
h = (b-a)/n;
x = linspace(a,b,n+1);
y = f(x);
T0 = h/2*(y(1)+2*sum(y(2:n))+y(n+1));
% 复化辛普生公式
S0 = (4*T0-sum(f(linspace(a,b,2*n+1)))+f(a)+f(b))/3;
% Richardson 外推
R = zeros(10);
R(1,1) = S0;
for j = 2:10
R(1,j) = (4^(j-1)*R(1,j-1)-R(1,j-2))/(4^(j-1)-1);
for i = 2:j
R(i,j) = (4^(j-i)*R(i-1,j)-R(i-1,j-1))/(4^(j-i)-1);
end
if abs(R(j,j)-R(j-1,j-1)) < 1e-8
break;
end
end
% 输出结果
I = R(j,j)
```
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