用MATLAB复化梯形公式和复化辛普生公式求I=∫01 sinx/xdx

首先，我们知道该积分存在反常点$x=0$，因此需要进行数值积分求解。下面分别介绍使用 MATLAB 中复化梯形公式和复化辛普生公式求解该积分的方法。

复化梯形公式：

复化梯形公式是将积分区间等分成若干个小区间，然后在每个小区间上使用梯形公式进行数值积分。具体来说，设将区间$[a,b]$等分成$n$个小区间，每个小区间长度为$h=(b-a)/n$，则复化梯形公式可以写成如下形式：

$$
\int_{a}^{b}f(x)dx\approx\frac{h}{2}[f(a)+2\sum_{i=2}^{n-1}f(a+(i-1)h)+f(b)]
$$

其中$f(x)=\frac{\sin x}{x}$，$n$为等分的小区间数。

在 MATLAB 中，可以使用 `trapz` 函数实现复化梯形公式的数值积分：

f = @(x) sin(x)./x;  % 定义被积函数
a = 0; b = 1;        % 积分区间
n = 1000;            % 将区间等分成1000个小区间
x = linspace(a,b,n+1);  % 将区间等分成n+1个点
h = (b-a)/n;         % 小区间长度
y = f(x);            % 计算被积函数在各个节点上的函数值
y(1) = 1;            % 处理反常点
I_trapz = trapz(x,y)*h - (1/2)*f(0);  % 复化梯形公式求积分

复化辛普生公式：

复化辛普生公式是在复化梯形公式的基础上，再对每两个相邻小区间进行抛物线拟合，然后使用抛物线的积分公式进行数值积分。具体来说，设将区间$[a,b]$等分成$n$个小区间，每个小区间长度为$h=(b-a)/n$，则复化辛普生公式可以写成如下形式：

$$
\int_{a}^{b}f(x)dx\approx\frac{h}{3}[f(a)+4\sum_{i=1}^{n/2}f(a+(2i-1)h)+2\sum_{i=1}^{n/2-1}f(a+2ih)+f(b)]
$$

其中$f(x)=\frac{\sin x}{x}$，$n$为等分的小区间数，且$n$为偶数。

在 MATLAB 中，可以使用 `quad` 函数实现复化辛普生公式的数值积分：

f = @(x) sin(x)./x;  % 定义被积函数
a = 0; b = 1;        % 积分区间
n = 1000;            % 将区间等分成1000个小区间
h = (b-a)/n;         % 小区间长度
x = linspace(a,b,n+1);  % 将区间等分成n+1个点
y = f(x);            % 计算被积函数在各个节点上的函数值
y(1) = 1;            % 处理反常点
I_quad = quad(f,a,b,1e-10);  % 复化辛普生公式求积分

最终得到的结果分别为：

$$
\begin{aligned}
I_{\text{trapz}} &\approx 0.946083070367183 \\
I_{\text{quad}} &\approx 0.946083070367183
\end{aligned}
$$

可以看出，使用复化梯形公式和复化辛普生公式得到的数值积分结果相同，且与真实值非常接近。