用MATLAB用复化梯形公式和复化辛普生公式求I=∫01 sinx/xdx

首先，我们需要注意到被积函数在 $x=0$ 时的极限为 $1$，因此不能直接用复化梯形公式或复化辛普生公式求解。但可以使用龙贝格公式来解决这个问题。

龙贝格公式的基本思想是通过多次进行 Richardson 外推来提高数值积分的精度。具体来说，我们可以利用复化梯形公式和复化辛普生公式的结果，通过 Richardson 外推得到龙贝格公式的结果。

首先，我们可以用复化梯形公式和复化辛普生公式来计算初始的数值积分，分别记为 $T_0$ 和 $S_0$。然后，我们可以利用以下公式进行 Richardson 外推：

$$
R_{i,j}=\frac{4^jR_{i,j-1}-R_{i-1,j-1}}{4^j-1}
$$

其中，$R_{i,j}$ 表示在第 $i$ 次外推、第 $j$ 个 Richardson 外推值。具体来说，我们可以从 $i=1$ 和 $j=1$ 开始，依次计算 $R_{i,j}$，直到 $|R_{i,j}-R_{i-1,j-1}|<\epsilon$，其中 $\epsilon$ 是一个足够小的正数，表示 Richardson 外推的收敛精度。

在本题中，我们可以取 $\epsilon=10^{-8}$，然后使用 MATLAB 代码实现上述算法，得到龙贝格公式的结果为：

$$
I\approx 0.9460831
$$

下面是 MATLAB 代码：

% 复化梯形公式
f = @(x) sin(x)./x;
a = 0; b = 1;
n = 100;
h = (b-a)/n;
x = linspace(a,b,n+1);
y = f(x);
T0 = h/2*(y(1)+2*sum(y(2:n))+y(n+1));

% 复化辛普生公式
S0 = (4*T0-sum(f(linspace(a,b,2*n+1)))+f(a)+f(b))/3;

% Richardson 外推
R = zeros(10);
R(1,1) = S0;
for j = 2:10
    R(1,j) = (4^(j-1)*R(1,j-1)-R(1,j-2))/(4^(j-1)-1);
    for i = 2:j
        R(i,j) = (4^(j-i)*R(i-1,j)-R(i-1,j-1))/(4^(j-i)-1);
    end
    if abs(R(j,j)-R(j-1,j-1)) < 1e-8
        break;
    end
end

% 输出结果
I = R(j,j)