如何利用Z变换分析一个离散时间系统的稳定性，并给出详细的数学推导过程？

在数字信号处理中，Z变换是分析离散时间系统的一个重要工具。系统稳定性分析是通过Z变换的极点位置来判断的，如果所有极点都位于单位圆内，则系统稳定。

参考资源链接：[《数字信号处理基础》周利清 北京邮电 课后习题详解](https://wenku.csdn.net/doc/eg5s1fmvkm?spm=1055.2569.3001.10343)

要进行系统稳定性的Z变换分析，首先需要得到系统的差分方程或传递函数。例如，对于一个线性时不变（LTI）系统，假设其差分方程为：

y[n] - a*y[n-1] = b*x[n] + c*x[n-1]

其中，y[n]是输出信号，x[n]是输入信号，a、b和c是常数系数。接下来，我们对该差分方程进行Z变换，得到传递函数H(z)：

H(z) = Y(z)/X(z) = (b + c*z^(-1))/(1 - a*z^(-1))

为了确定系统的稳定性，我们需要找到传递函数H(z)的极点，极点为使分母等于零的z值，即：

1 - a*z^(-1) = 0

解得 z = a（由于我们通常将z的幂次写为正，这里可以理解为 z = 1/a）。根据系统稳定性条件，所有极点必须位于单位圆 |z|<1 内，因此，对于本例，系统稳定的条件是 |a| < 1。

在实际操作中，我们通常需要利用数学软件（如MATLAB）来进行复杂多项式的求解，并绘制根轨迹图以直观地显示极点位置。

通过上述步骤，我们可以利用Z变换来分析离散时间系统的稳定性。周利清编著的《数字信号处理基础》和其课后习题详解，详细地介绍了Z变换及其应用，并提供了大量习题，帮助读者深入理解并掌握这些概念。对于希望进一步提高数字信号处理能力的专业人士，这套教材和答案集是一个非常好的学习资源。

参考资源链接：[《数字信号处理基础》周利清 北京邮电 课后习题详解](https://wenku.csdn.net/doc/eg5s1fmvkm?spm=1055.2569.3001.10343)