改进的欧拉法python及误差

改进的欧拉法（Improved Euler's Method）是一种数值求解常微分方程的方法，它通过对欧拉法进行改进来提高精度。改进的欧拉法的局部截断误差为$O(h^3)$，全局误差为$O(h^2)$，因此它比欧拉法更精确。在一些实际问题中，改进的欧拉法被广泛使用。

以下是使用改进的欧拉法求解常微分方程的Python代码示例：

def improved_euler_method(f, x0, y0, h, n):
    """
    使用改进的欧拉法求解常微分方程

    参数：
    f: 函数，表示常微分方程的右侧函数，形式为 f(x, y)
    x0: 初始点的 x 坐标
    y0: 初始点的 y 坐标
    h: 步长
    n: 迭代次数

    返回：
    x: 迭代得到的 x 坐标列表
    y: 迭代得到的 y 坐标列表
    """
    x = [x0]
    y = [y0]
    for i in range(n):
        xi = x[i]
        yi = y[i]
        k1 = f(xi, yi)
        k2 = f(xi + h, yi + h * k1)
        yi1 = yi + h * (k1 + k2) / 2
        xi1 = xi + h
        x.append(xi1)
        y.append(yi1)
    return x, y

# 示例：求解 dy/dx = x + y，初始条件为 y(0) = 1
def f(x, y):
    return x + y

x0 = 0
y0 = 1
h = 0.2
n = 5

x, y = improved_euler_method(f, x0, y0, h, n)
print("x:", x)
print("y:", y)

运行以上代码，可以得到迭代得到的 x 坐标列表和 y 坐标列表。根据给定的初始条件和步长，改进的欧拉法可以求解常微分方程，并得到数值解。