对称矩阵的特征值是对角线上的值吗

不一定是。虽然对称矩阵可以通过相似变换对角化，但是特征值并不一定是对角线上的值。具体来说，对称矩阵的特征值可以是对角线上的值，也可以不是。但，对称矩阵的特征向量一定可以选择为正交向量，这可以保证通过正交矩阵相似变换后，对角矩阵的对角线上的元素就是对称矩阵的特征值。因此，如果对称矩阵的特征向量已知，那么特征值就可以通过相似变换得到。

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实对称矩阵的主对角线上的元素具有一个非常重要的特征，即它们都是实数。这是因为实对称矩阵是指矩阵的转置等于其本身，并且矩阵中所有元素都是实数。因此，主对角线上的元素也必须是实数。这一特征在实对称矩阵的特征值分解中非常重要，因为它保证了特征值和特征向量都是实数。这种性质使得实对称矩阵在很多实际应用中都有广泛的应用，例如物理学中的对称性问题，以及机器学习中的降维和主成分分析等问题。

带 Wilkinson 位移的隐式对称 QR 算法求解对称矩阵特征值matlab代码，要求使用householder三对角化

以下是使用 Householder 三对角化和带 Wilkinson 位移的隐式对称 QR 算法求解对称矩阵特征值的 Matlab 代码：

function [eigenvalues, eigenvectors] = symmQR(A, tol)
% A: n x n 对称矩阵
% tol: 容许误差
% eigenvalues: n x 1 特征值向量
% eigenvectors: n x n 特征向量矩阵

n = size(A, 1);
eigenvalues = diag(A); % 初始化特征值向量
eigenvectors = eye(n); % 初始化特征向量矩阵

while true
    for i = 1:n-1
        if abs(A(i+1,i)) < tol % 判断下对角线元素是否为零
            continue
        end
        
        % 计算 Householder 变换矩阵
        [v, beta] = house(A(i:i+1,i));
        H = blkdiag(eye(i-1), v*v'/beta, eye(n-i-1));
        
        % 对矩阵进行 Householder 三对角化
        A = H * A * H;
        eigenvectors = eigenvectors * H;
        
        % 对带 Wilkinson 位移的隐式 QR 算法进行迭代
        [mu, shift] = wilkinsonShift(A(n-1:n,n-1:n));
        [Q, R] = qr(A - mu*eye(n));
        A = R * Q + mu*eye(n);
        
        % 更新特征值向量
        eigenvalues(i:i+1) = A(i:i+1,i:i+1);
    end
    
    % 检查是否满足停止条件
    if max(abs(tril(A,-1))) < tol
        break
    end
end

% 对特征向量矩阵进行正交化
for i = 1:n
    for j = 1:i-1
        eigenvectors(:,i) = eigenvectors(:,i) - (eigenvectors(:,i)'*eigenvectors(:,j)) * eigenvectors(:,j);
    end
    eigenvectors(:,i) = eigenvectors(:,i) / norm(eigenvectors(:,i));
end

end

function [v, beta] = house(x)
% 计算 Householder 变换矩阵
sigma = norm(x);
if x(1) >= 0
    v1 = x(1) + sigma;
else
    v1 = x(1) - sigma;
end
v = x / v1;
v(1) = 1;
beta = 2 / (v'*v);
end

function [mu, shift] = wilkinsonShift(A)
% 计算带 Wilkinson 位移的隐式 QR 算法中的位移参数
d = (A(1,1) - A(2,2)) / 2;
if d >= 0
    mu = A(2,2) - A(2,1)^2 / (d + sqrt(d^2 + A(2,1)^2));
else
    mu = A(2,2) - A(2,1)^2 / (d - sqrt(d^2 + A(2,1)^2));
end
shift = A(2,2) - mu;
end

其中 `house` 函数用于计算 Householder 变换矩阵，`wilkinsonShift` 函数用于计算带 Wilkinson 位移的隐式 QR 算法中的位移参数。函数返回特征值向量和特征向量矩阵。