掌握雅可比与QR法计算对称和非对称矩阵特征值向量

资源摘要信息:"本资源详细介绍了两种主要的数值算法用于计算矩阵的特征值和特征向量：雅可比法和QR分解法。雅可比法主要适用于对称矩阵，而QR分解法则适用于非对称矩阵。程序资源基于feitian_feiwu的代码，并增加了计算复数特征值及对应的特征向量的功能。资源包含的C++程序项目已通过Visual Studio 2013调试。另外，该资源还提供了一个在线验证网址，可以帮助用户验证所计算的特征向量的正确性。" ### 雅可比法 雅可比法是求解对称矩阵特征值和特征向量的一种算法。对称矩阵具有实对称性，其特征值为实数，特征向量为正交向量。雅可比法的基本思想是通过一系列的平面旋转变换，使得矩阵最终变为对角矩阵，而该对角矩阵的对角元素即为原矩阵的特征值，旋转矩阵的列向量即为原矩阵的特征向量。 雅可比法的步骤通常包括： 1. 从矩阵中找到最大的非对角元素，记作a_{pq}。 2. 计算旋转变换矩阵，使得a_{pq}变为0。 3. 将旋转变换应用到原矩阵上，更新矩阵的行和列。 4. 重复以上步骤，直到矩阵成为对角矩阵或者达到预定的精度。 ### QR分解法 QR分解法是另一种用于求解矩阵特征值和特征向量的算法，特别适用于非对称矩阵。QR分解的基本思想是将原矩阵分解成一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积。通过这种方式，可以将原矩阵的特征值问题转化为对上三角矩阵R的特征值问题，因为正交矩阵的特征值都是1。 QR分解法求特征值和特征向量的步骤通常包括： 1. 对原矩阵进行QR分解，得到Q和R。 2. 计算R与Q的乘积，得到新的矩阵序列。 3. 通过迭代过程，使得新矩阵序列趋向于对角矩阵，对角线上的元素为特征值，Q矩阵的列向量为特征向量。 4. 迭代过程直到满足一定的收敛条件，比如对角线上元素变化非常小。 ### C++实现 提供的C++程序项目基于feitian_feiwu的原始代码，并增加了计算复数特征值及其对应特征向量的计算功能。这可能涉及到处理复数的数学运算和数据结构，确保复数的模和相位正确处理。 ### 在线验证 资源中提到的在线验证网站，可以是提供矩阵运算或特定算法结果校验的网页服务。用户可以通过上传计算结果或输入数据进行验证，以确保算法的正确性和特征值及特征向量计算的准确性。 ### 开发环境 资源文件提到的"vs2013下调试通过"指的是，该C++程序项目已经在Microsoft Visual Studio 2013集成开发环境中进行了编译、构建和调试，确保在该开发环境中无编译错误和运行时异常，可以正常执行。