为什么1khz的三角波经过截止频率为4khz的低通滤波器会呈现三角波

当一个1kHz的三角波通过一个截止频率为4kHz的低通滤波器时，滤波器会去除三角波中频率高于4kHz的部分，只留下频率低于4kHz的部分。由于三角波中包含有很多高频分量，这些高频分量会被低通滤波器去除，只留下较低频率的成分。

当我们只保留了较低频率的成分时，这些成分会保持原有的形状，从而形成一个三角波的形状。这是因为三角波中的每个谷和峰都可以看作是一个正弦波，其中谷和峰之间的过渡是通过高频分量来实现的，而这些高频分量被低通滤波器去除了。

因此，当1kHz的三角波通过4kHz的低通滤波器时，输出信号将呈现出三角波的形状。这种现象称为信号重建，可以通过适当的滤波器设计来实现。在这种情况下，由于滤波器的截止频率比信号中最高频率高，因此没有发生折叠现象，信号的形状得以保持不变。

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为什么1khz的三角波经过截止频率为2khz的低通滤波器会呈现正弦波

当一个三角波通过一个截止频率为2kHz的低通滤波器时，滤波器会去除三角波中频率高于2kHz的部分，只留下频率低于2kHz的部分。由于三角波中包含有很多高频分量，这些高频分量会被低通滤波器去除，只留下较低频率的成分。

当我们只保留了较低频率的成分时，这些成分会交替地增加和减小，从而形成一个正弦波的形状。这是因为三角波中的每个谷和峰都可以看作是一个正弦波，其中谷和峰之间的过渡是通过高频分量来实现的，而这些高频分量被滤波器去除了。

因此，当1kHz的三角波通过2kHz的低通滤波器时，输出信号将呈现出正弦波的形状。这种现象称为折叠，可以通过恰当的滤波器设计来避免。

为什么1khz的三角波在经抽样频率为8khz后经过截止频率为4khz的低通滤波器会失真

1kHz的三角波在经过抽样频率为8kHz的采样后，会产生抽样失真。这是因为三角波中包含有很多高频成分，而当抽样频率低于它们的两倍时，这些高频成分就会混叠到低频区域。在这种情况下，低通滤波器就无法将它们滤除，导致信号失真。

当抽样频率为8kHz时，三角波中的最高频率为1kHz，因此抽样频率应该至少是2kHz x 2 = 4kHz，才能满足抽样定理。而由于抽样频率等于信号中最高频率的两倍，因此没有发生折叠现象。

然而，当经过抽样之后的信号被截止频率为4kHz的低通滤波器滤波时，由于混叠的高频成分无法被滤除，因此会导致信号失真。这是因为这些高频成分混叠到了低频区域，使得滤波器无法将它们区分开来，从而导致失真。

因此，在进行抽样信号的恢复时，需要满足适当的采样定理和恢复滤波器设计，以避免信号失真。