最小二乘法拟合曲线三次多项式和五次多项式

最小二乘法是一种统计学方法，用于通过调整函数的参数来使得数据点到该函数的预测值之间的误差平方和达到最小。对于三次和五次多项式拟合，我们通常假设模型的形式为：

三次多项式 (Polynomial of degree 3):
\[ y = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 \]

其中 \( a_0, a_1, a_2, a_3 \) 是待求的系数。

五次多项式 (Polynomial of degree 5):
\[ y = b_0 + b_1x + b_2x^2 + b_3x^3 + b_4x^4 + b_5x^5 \]
这里的 \( b_0, b_1, b_2, b_3, b_4, b_5 \) 也是未知参数。

最小二乘法的基本步骤是：
1. 给定一组观测数据点 (x_i, y_i)，i=1到n。
2. 计算每个数据点与多项式预测值 \( y_i = f(x_i; a) \) 或 \( y_i = f(x_i; b) \) 的残差 (误差)：\( e_i = y_i - f(x_i) \)。
3. 对所有残差的平方求和，形成目标函数 \( S = \sum_{i=1}^{n}(e_i)^2 \)。
4. 通过迭代优化算法（如梯度下降法），找到使目标函数最小化的系数 \( a \) 或 \( b \)。

应用此方法后，你可以得到最能近似数据趋势的三次或五次多项式函数。