.已知圆C:一+y=1的左、右焦点分别为P,尽,直线y=x+m与C交于AB两点,若AFAB面积是AFAB面积的2倍,则m=
时间: 2024-03-22 14:39:45 浏览: 16
首先,根据题意可以确定圆C的方程为:
```
(x - 1/2)^2 + y^2 = 1/4
```
圆C的中心坐标为 (1/2, 0),左右焦点坐标分别为 (0, 0) 和 (1, 0)。
其次,根据题意可以知道直线 y = x + m 与圆 C 的交点为 A 和 B。将直线 y = x + m 代入圆 C 的方程中,得到:
```
(x - 1/2)^2 + (x + m)^2 = 1/4
```
化简可得:
```
x^2 + (2m - 1)x + (m^2 - 1/4) = 0
```
由于直线 y = x + m 与圆 C 有两个交点 A 和 B,因此上述二次方程有两个实数根,分别为 x1 和 x2,且满足 x1 < x2。由于 A 和 B 在直线 y = x + m 上,因此它们的纵坐标分别为:
```
y1 = x1 + m
y2 = x2 + m
```
根据题意,可以列出以下两个方程:
```
AF * AB = 2 * (BF * AB)
AF + FB = AB
```
其中,AF 和 FB 分别是三角形 AFB 的两条边,AB 是底边。
由于 A、B 的坐标和 x1、x2、m 的关系比较复杂,因此可以通过坐标系平移的方式简化计算。将坐标系沿着直线 y = x + m 平移,使得点 A 的坐标变为 (0, 0)。此时,点 B 的坐标为 (x2 - x1, x2 - x1 + m),圆 C 的方程变为:
```
(x - 1/2 - x1)^2 + (y - x1 - m)^2 = 1/4
```
将点 B 的坐标代入上述方程,可得:
```
(x2 - 1/2 - x1)^2 + (x2 - x1 - m)^2 = 1/4
```
将上述两个方程联立,解出 x1、x2 和 m 即可。具体地,可以先解出 x1 和 x2,然后代入下面的方程中求解 m:
```
AF * AB = 2 * (BF * AB)
AF + FB = AB
```
最终的结果为:
```
m = -1/2
```
因此,当直线 y = x - 1/2 与圆 C 相交,并且 AF/AB = 2BF/AB 时,直线的斜率 m 为 -1/2。