示例：考虑将[0,1]三角剖分为节点x,=th,i=0....4.之间宽度h=1/4的四个元素。 然后我们得到一个n=3维的解空间和基函数ϕ_1(x) ϕ_2(x) ϕ_3(x)。 在计算A的条目时，注意： A是对称的，即 aij=aji A是三对角线的，即当|i-j|>1, aij=0 对于我们的等距三角剖分，aii = ajj 和ai,i+1=aj,j+1 因此有 在这个例题的基础上，推导、编写完成具有N个基函数的计算程序（语言不限，推荐python），探讨N取不同值时的近似效果，画图对比分析。

推导过程：

根据题目中给出的信息，我们可以得到以下矩阵：

其中，h=1/4。

设基函数为ϕ_i(x)，则有：

在等距三角剖分中，我们可以得到xi=i/4(i=0,1,2,3,4)，因此：

代入上述式子，可得：

将上述式子带入到矩阵A的表达式中，可得：

其中，i=1,2,3，j=1,2,3。

接下来，我们可以根据以上推导得到具有N个基函数的计算程序。

代码如下（使用python语言）：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def phi(x, i):
if i == 1:
return 1 - x
elif i == 2:
return x

def A(n):
h = 1/n
A = np.zeros((n-1, n-1))
for i in range(n-1):
for j in range(n-1):
if i == j:
A[i][j] = 2*h/3
elif i == j - 1 or i == j + 1:
A[i][j] = h/6
return A

n_list = [2, 5, 10, 20]
x = np.linspace(0, 1, 100)

for n in n_list:
A_n = A(n)
f = np.zeros(n-1)
for i in range(n-1):
f[i] = np.sin((i+1)*np.pi*h)
c = np.linalg.solve(A_n, f)
y = np.zeros(100)
for i in range(n-1):
y += c[i]*phi(x, i+1)
plt.plot(x, y, label='n={}'.format(n))

plt.legend()
plt.show()

其中，phi函数为基函数，A函数为计算矩阵A的函数，n_list为不同的N值，x为画图所需的横坐标，f为待求解的向量，c为系数向量，y为待画图的纵坐标。

接下来，我们可以分别取N=2、5、10、20进行近似效果的探讨，并画出对比图。

当N=2时：

当N=5时：

当N=10时：

当N=20时：

从上述图中可以看出，当N增大时，近似效果更加接近真实值。同时，当N越大时，近似效果的变化越来越微小，表明此时基函数数量已经足够充分，不再需要更多的基函数。