c++离散傅里叶变换

### 关于C++实现离散傅里叶变换

在C++中实现离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT），通常会利用一些高效的库来简化操作。对于图像处理领域，OpenCV提供了强大的支持工具来进行DFT及其逆运算IDFT。

#### 利用OpenCV进行DFT的代码示例

下面是一个基于OpenCV库执行一维信号或二维图像上的离散傅立叶变换的例子：

#include <opencv2/opencv.hpp>
#include <iostream>

using namespace cv;
using namespace std;

int main(int argc, char **argv){
    // 创建输入数据矩阵 (假设为灰度图)
    Mat I = imread(argv[1], IMREAD_GRAYSCALE);
    
    if(I.empty()){
        cout << "Could not open or find the image" << endl ;
        return -1;
    }

    int m = getOptimalDFTSize(I.rows);  // 获取最佳尺寸以提高效率
    int n = getOptimalDFTSize(I.cols);

    // 将原始图片扩展到最优大小并填充边界
    copyMakeBorder(I, padded, 0, m - I.rows, 0, n - I.cols, BORDER_CONSTANT, Scalar::all(0));

    // 添加另一个通道用于存储复数值中的虚部部分；设置所有值都为零
    vector<Mat> planes = {padded, Mat::zeros(padded.size(), CV_32F)};
    merge(planes, complexI);         // 合并两个平面形成一个复数向量
    
    dft(complexI, complexI);          // 执行快速傅里叶变换

    // 计算频谱幅度
    split(complexI, planes);           // 分割回原来的实部和虚部组件
    magnitude(planes[0], planes[1], planes[0]); // 幅度 = sqrt(Re(DFT)^2 + Im(DFT)^2)

    Mat magI = planes[0];

    // 对数尺度转换：log(1 + |F(u,v)|)，以便更好地可视化结果
    magI += Scalar::all(1);
    log(magI, magI);

    // 裁剪并重新排列频率四象限至中心位置
    magI = magI(Rect(0, 0, magI.cols & -2, magI.rows & -2));
    int cx = magI.cols / 2;
    int cy = magI.rows / 2;
    Mat q0(magI, Rect(0, 0, cx, cy));     // 左上角
    Mat q1(magI, Rect(cx, 0, cx, cy));    // 右上角
    Mat q2(magI, Rect(0, cy, cx, cy));    // 左下角
    Mat q3(magI, Rect(cx, cy, cx, cy));   // 右下角

    Mat tmp;
    q0.copyTo(tmp);
    q3.copyTo(q0);
    tmp.copyTo(q3);

    q1.copyTo(tmp);
    q2.copyTo(q1);
    tmp.copyTo(q2);

    // 归一化到可显示范围 [0..1]
    normalize(magI, magI, 0, 1, NORM_MINMAX);

    imshow("Input Image", I);
    imshow("Spectrum Magnitude", magI);
    waitKey();

    return 0;
}

此程序读取一张灰度图像作为输入，并对其应用离散傅里叶变换，最后展示原图以及经过对数缩放后的频域表示形式[^2]。