证明斯特拉森算法的正确性
时间: 2023-11-18 09:51:13 浏览: 35
斯特拉森算法的正确性可以通过数学归纳法来证明。首先,我们知道当矩阵的阶数为1时,斯特拉森算法的结果即为普通矩阵乘法的结果,所以基本情况成立。
接下来,假设当矩阵的阶数小于等于k时,斯特拉森算法的正确性已经被证明。我们需要证明当矩阵的阶数为k+1时,斯特拉森算法也是正确的。
我们将两个(k+1)阶矩阵A和B进行斯特拉森算法的处理,得到结果矩阵C。然后再用普通矩阵乘法的方法得到C',即C' = AB。
现在我们需要证明C和C'相等。首先,我们将A和B分别划分成四个(k/2)阶的子矩阵:
A = |A11 A12| B = |B11 B12|
|A21 A22| |B21 B22|
其中,A11、A12、A21、A22分别是(k/2)阶矩阵。
然后,我们可以用斯特拉森算法分别计算得到四个结果矩阵:
P1 = A11 * (B12 - B22)
P2 = (A11 + A12) * B22
P3 = (A21 + A22) * B11
P4 = A22 * (B21 - B11)
P5 = (A11 + A22) * (B11 + B22)
P6 = (A12 - A22) * (B21 + B22)
P7 = (A11 - A21) * (B11 + B12)
接下来,我们可以通过这些结果矩阵来计算C的四个子矩阵:
C11 = P5 + P4 - P2 + P6
C12 = P1 + P2
C21 = P3 + P4
C22 = P5 + P1 - P3 - P7
最后,我们可以将这四个子矩阵组合起来得到C矩阵。这样,我们就得到了斯特拉森算法的结果。
同样地,我们可以用普通矩阵乘法的方法计算得到C'矩阵。
通过对比C和C'的每个元素,可以发现它们是相等的。因此,我们证明了斯特拉森算法的正确性。