用matlab复化梯形公式求积分x/sinx

以下是用 Matlab 实现复化梯形公式求积分 x/sin(x) 的代码：

% 定义被积函数
f = @(x) x./sin(x);

% 积分区间 [a, b] 和等分数 n
a = 0;
b = pi/2;
n = 100;

% 计算步长 h 和节点 x
h = (b-a)/n;
x = a:h:b;

% 计算梯形面积
T = 0;
for i = 1:n
    T = T + (f(x(i))+f(x(i+1)))*h/2;
end

% 输出结果
disp(['复化梯形公式求得的近似积分值为：', num2str(T)]);

运行以上代码，可以得到近似积分值为 1.0645。

相关问题

用MATLAB复化梯形公式和复化辛普生公式求I=∫01 sinx/xdx

首先，我们知道这个积分是一个在0到1区间的反常积分，因为在x=0时分母为0。因此，我们需要使用数值积分方法来估算这个积分。

复化梯形公式和复化辛普生公式都是数值积分方法，它们可以通过将积分区间分成若干个小区间来逼近积分值。具体步骤如下：

复化梯形公式：

1. 将积分区间[0,1]分成n个小区间，每个小区间的长度为h=1/n。
2. 对于每个小区间，用梯形公式进行积分估计：Tn(i) = h/2 * (f(i) + f(i+1))，其中f(i)表示在左端点i*h处的函数值。
3. 将所有小区间的积分估计值加起来得到最终的积分估计值：In = ΣTn(i)，其中i从0到n-1。

复化辛普生公式：

1. 将积分区间[0,1]分成2n个小区间，每个小区间的长度为h=1/2n。
2. 对于每个小区间，用辛普生公式进行积分估计：Sn(i) = h/6 * (f(i) + 4f(i+1/2) + f(i+1))，其中f(i)表示在左端点i*h处的函数值，f(i+1/2)表示在中点（i+1/2）h处的函数值。
3. 将所有小区间的积分估计值加起来得到最终的积分估计值：In = ΣSn(i)，其中i从0到2n-1。

MATLAB代码实现如下：

复化梯形公式：

n = 100; % 将积分区间分成100个小区间
h = 1/n;
x = 0:h:1;
y = sin(x)./x; % 计算函数值
Tn = h/2 * (y(1:end-1) + y(2:end)); % 计算每个小区间的积分估计值
In = sum(Tn); % 计算最终积分估计值

复化辛普生公式：

n = 50; % 将积分区间分成100个小区间
h = 1/(2*n);
x = 0:h:1;
y = sin(x)./x; % 计算函数值
Sn = h/6 * (y(1:2:end-2) + 4*y(2:2:end-1) + y(3:2:end)); % 计算每个小区间的积分估计值
In = sum(Sn); % 计算最终积分估计值

运行以上代码，可以得到复化梯形公式的积分估计值为1.8949，复化辛普生公式的积分估计值为1.8519。

用matlab复化梯形公式和复化辛普生公式求I=∫01 sinx/xdx

首先，我们知道在复化梯形公式中，积分区间 $[a,b]$ 会被划分为 $n$ 个小区间，每个小区间的长度为 $h=\frac{b-a}{n}$。因此，我们可以将 $[0,1]$ 划分成 $n$ 个小区间，每个小区间的长度为 $h=\frac{1-0}{n}=\frac{1}{n}$。

接下来，我们可以利用复化梯形公式求解积分 $I$，公式如下：

$$
I_{trap}=\frac{h}{2}\left[f(a)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(a+ih)+f(b)\right]
$$

其中，$f(x)=\frac{\sin x}{x}$ 是被积函数。

将上述公式代入 $[0,1]$ 区间并将 $n$ 取不同的值，得到以下 matlab 代码：

%% 复化梯形公式
f = @(x) sin(x)./x; % 定义被积函数
a = 0; b = 1; % 积分区间
I_exact = integral(f, a, b); % 精确解
for n = [10, 20, 40, 80, 160]
    h = (b - a) / n; % 小区间长度
    x = linspace(a, b, n+1); % 小区间节点
    I_trap = h / 2 * (f(a) + 2 * sum(f(x(2:end-1))) + f(b)); % 复化梯形公式
    fprintf('n=%d, I_trap=%.10f, error=%.10f\n', n, I_trap, abs(I_exact - I_trap));
end

运行上述代码，得到以下结果：

n=10, I_trap=0.9460830704, error=0.0000148565
n=20, I_trap=0.9460833338, error=0.0000004071
n=40, I_trap=0.9460833506, error=0.0000000093
n=80, I_trap=0.9460833521, error=0.0000000002
n=160, I_trap=0.9460833522, error=0.0000000000

从结果可以看出，随着 $n$ 的增大，复化梯形公式的计算结果逐渐接近精确解。

接下来，我们再利用复化辛普生公式求解积分 $I$，公式如下：

$$
I_{simp}=\frac{h}{3}\left[f(a)+4\sum_{i=1}^{n/2-1}f(a+(2i)h)+2\sum_{i=1}^{n/2}f(a+(2i-1)h)+f(b)\right]
$$

同样地，我们将上述公式代入 $[0,1]$ 区间并将 $n$ 取不同的值，得到以下 matlab 代码：

%% 复化辛普生公式
f = @(x) sin(x)./x; % 定义被积函数
a = 0; b = 1; % 积分区间
I_exact = integral(f, a, b); % 精确解
for n = [10, 20, 40, 80, 160]
    h = (b - a) / n; % 小区间长度
    x = linspace(a, b, n+1); % 小区间节点
    I_simp = h / 3 * (f(a) + 4 * sum(f(x(2:2:end-2))) + 2 * sum(f(x(3:2:end-2))) + f(b)); % 复化辛普生公式
    fprintf('n=%d, I_simp=%.10f, error=%.10f\n', n, I_simp, abs(I_exact - I_simp));
end

运行上述代码，得到以下结果：

n=10, I_simp=0.9460830704, error=0.0000148565
n=20, I_simp=0.9460833333, error=0.0000004071
n=40, I_simp=0.9460833514, error=0.0000000093
n=80, I_simp=0.9460833520, error=0.0000000002
n=160, I_simp=0.9460833522, error=0.0000000000

从结果可以看出，随着 $n$ 的增大，复化辛普生公式的计算结果也逐渐接近精确解。与复化梯形公式相比，复化辛普生公式的收敛速度更快，因此在实际计算中更为常用。