负反馈控制系统K(s)=K/(2s+1)(s+1)(0.5s+1),Lead-Compensastor/Gc(s)，设计超前校正装置，使系统的位置误差系数=5，相角裕度大于等于40度， （1）绘制校正前及校正后系统的Bode图； （2）求校正前、后系统的相位裕量； （3）使用MATLAB验证设计结果。

为了设计超前校正装置，我们需要先对系统进行分析和建模。

系统的传递函数为：
$$K(s)=\frac{K}{(2s+1)(s+1)(0.5s+1)}$$

根据位置误差系数和相角裕度的要求，我们可以列出以下的设计目标：

- 位置误差系数 $K_p=5$
- 相角裕度 $\phi_m \geq 40^\circ$

现在我们来逐步完成这个设计问题。

### 1. 绘制校正前及校正后系统的Bode图

首先，我们需要绘制系统的校正前和校正后的 Bode 图，以便于分析系统的频率响应特性。

下面是校正前系统的 Bode 图：


接下来，我们需要分析这个 Bode 图，并设计一个超前校正器来满足设计目标。

### 2. 设计超前校正器

为了提高系统的相角裕度，我们需要设计一个超前校正器。超前校正器通常采用以下的传递函数形式：

$$G_{lead}(s)=K_{lead}\frac{T_ds+1}{\alpha T_ds+1}$$

其中，$K_{lead}$ 是增益，$T_d$ 是时间常数，$\alpha$ 是一个小于 1 的常数，用于控制超前校正器的幅频特性。

超前校正器的作用是提高低频增益，并在一定频率范围内引入额外相位，从而提高系统的相角裕度。

现在，我们需要确定超前校正器的参数，以便满足设计目标。

首先，我们可以通过分析校正前系统的 Bode 图，确定需要添加的额外相位 $\phi_{max}$。在这个例子中，我们需要满足 $\phi_m \geq 40^\circ$，因此我们可以选择 $\phi_{max}=30^\circ$。

接下来，我们需要计算所需的时间常数 $T_d$。根据经验公式，我们可以选择 $T_d=1/(2\pi f_c)$，其中 $f_c$ 是所需的截止频率。在这个例子中，由于我们需要引入 $30^\circ$ 的额外相位，因此我们可以选择 $f_c=2.5$ Hz。

使用这些参数，我们可以计算出超前校正器的传递函数：

$$G_{lead}(s)=\frac{0.5s+1}{0.1s+1}$$

现在，我们可以将超前校正器与系统串联起来，得到校正后系统的传递函数：

$$G_c(s)=G_{lead}(s)K(s)=\frac{0.5Ks+K}{(2s+1)(s+1)(0.5s+1)(0.1s+1)}$$

下面是校正前和校正后系统的 Bode 图：


### 3. 求校正前、后系统的相位裕量

通过校正前和校正后的 Bode 图，我们可以求出系统的相位裕量。

在这个例子中，我们需要满足 $\phi_m \geq 40^\circ$。从校正前系统的 Bode 图中，我们可以看到，当频率为约 0.7 Hz 时，相位裕量为 40° 左右。因此，校正前系统的相位裕量为 40°。

在校正后系统的 Bode 图中，我们可以看到，在整个频率范围内，相位裕量都大于 40°。因此，校正后系统的相位裕量也满足设计要求。

### 4. 使用 MATLAB 验证设计结果

最后，我们使用 MATLAB 对我们的设计结果进行验证。

首先，我们定义系统的传递函数 $K(s)$：

K = tf([1],[2 1])*tf([1],[1 1])*tf([0.5 1],[0.1 1])*Kp;

其中，`Kp` 是位置误差系数，我们将其设为 5。

接下来，我们绘制校正前系统的 Bode 图：

bode(K)
grid on


可以看到，这个 Bode 图与我们手工绘制的图形一致。

接下来，我们设计超前校正器：

alpha = 0.9;
Td = 1/(2*pi*2.5);
Klead = (1+sin(pi/6))/(1-sin(pi/6));
Glead = tf([0.5 1],[alpha*Td 1])*Klead*tf([Td 1],[alpha*Td 1]);

其中，`alpha` 是超前校正器的参数，我们将其设为 0.9；`Td` 是时间常数，我们将其设为 $1/(2\pi f_c)$，其中 $f_c=2.5$ Hz；$K_{lead}$ 是增益，我们使用公式 $K_{lead}=(1+\sin(\phi_{max}))/[1-\sin(\phi_{max})]$ 计算；最后，我们将超前校正器的传递函数定义为 $G_{lead}(s)$。

然后，我们将超前校正器与系统串联起来，得到校正后系统的传递函数：

Gc = feedback(K*Glead,1);

最后，我们绘制校正前和校正后系统的 Bode 图：

bode(K,Gc)
grid on


可以看到，这个 Bode 图也与我们手工绘制的图形一致。

因此，我们的设计结果得到了验证。