在线性空间中，如何确定一组基以及这组基与线性变换之间的关系如何通过矩阵表示？

在线性空间中，基是由一组线性无关的向量组成的集合，这些向量可以生成整个空间。基的选择通常取决于问题的上下文和便利性。确定基的一组方法是通过对向量集合进行格拉姆-施密特正交化过程，从而得到一组正交基，或者通过行阶梯化等方法得到一组生成整个空间的向量集合。

参考资源链接：[矩阵论及应用：课后习题全解](https://wenku.csdn.net/doc/5m16627zmo?spm=1055.2569.3001.10343)

线性变换在线性空间中的表示与所选择的基紧密相关。在给定一组基后，可以通过线性变换对基向量的作用来确定该变换的矩阵表示。具体来说，线性变换的矩阵表示可以通过将线性变换应用于基向量，并将结果向量展开为基向量的线性组合来得到。矩阵的每一列对应于原空间基向量在新空间中的像。

例如，假设我们有一个线性变换T: V -> W，其中V和W是线性空间，且已知V的基是{v1, v2, ..., vn}，W的基是{w1, w2, ..., wm}。我们可以应用T到每个vi，并将结果T[vi]表示为W中基向量的线性组合，即T[vi] = a1i*w1 + a2i*w2 + ... + ami*wm。系数aij构成了变换T相对于V和W的基的矩阵表示。

在实际操作中，选择适当的基可以使问题的解决更加直观和简便。例如，在处理多维空间或高维数据时，通过选取合适的基可以简化线性变换的计算，这在图像处理、数据压缩等工程应用中尤其有用。《矩阵论及应用：课后习题全解》一书提供了大量关于线性空间、基、维数以及线性变换的习题及解答，可以帮助读者更加深刻地理解这些概念，并掌握它们的矩阵表示方法。

参考资源链接：[矩阵论及应用：课后习题全解](https://wenku.csdn.net/doc/5m16627zmo?spm=1055.2569.3001.10343)