请解释在线性空间中如何确定一组基，以及这组基与线性变换之间的关系如何通过矩阵表示？

线性空间的一组基是指该空间的一个最小的生成集，使得空间中的任意向量都可以由这组基以唯一的方式线性表示。确定一组基通常涉及将线性空间内的向量进行线性组合，通过约化行阶梯形或行最简形等方法，选取线性无关的向量作为基。基的选择并不是唯一的，但是线性空间的维数是确定的，即基中向量的个数。

参考资源链接：[矩阵论及应用：课后习题全解](https://wenku.csdn.net/doc/5m16627zmo?spm=1055.2569.3001.10343)

线性变换在线性空间的基下的矩阵表示可以通过变换前后的基向量来确定。具体来说，如果我们有线性空间V的一个基B = {v1, v2, ..., vn}，那么线性变换T作用在每一个基向量上的结果可以表示为T(vi)。将每个T(vi)用V的另一组基C = {w1, w2, ..., wn}线性表示出来，得到的系数就构成了线性变换T在基B和C之间的矩阵表示。这个矩阵被称为变换矩阵，其列向量就是变换后基向量在变换前基下的坐标。

举个例子，假设有一个二维线性空间V，基B为 {(1, 0), (0, 1)}，考虑线性变换T：(x, y) -> (x+y, x-y)，我们可以找出T作用于B的像为 {(1, 1), (1, -1)}，即T(1, 0) = (1, 1) 和 T(0, 1) = (1, -1)，这些像可以用基B的向量线性表示为T(1, 0) = (1, 0) + (1, 0)和T(0, 1) = (0, 1) + (0, -1)，从而得到变换矩阵为 [[1, 1], [1, -1]]。

掌握了基的概念和线性变换的矩阵表示后，你就能更好地理解线性空间的结构，以及如何应用线性变换在不同基下的矩阵来处理数学和工程问题。为了更深入地理解这些概念，并提高解决实际问题的能力，建议参阅《矩阵论及应用：课后习题全解》，该资料详细解答了线性空间、线性变换以及矩阵表示等关键概念，对于理论学习和实际应用都将是一个宝贵的资源。

参考资源链接：[矩阵论及应用：课后习题全解](https://wenku.csdn.net/doc/5m16627zmo?spm=1055.2569.3001.10343)