请详细解释线性方程组的矩阵表示及其通过初等变换求解的步骤，并给出相应的数学示例。

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线性方程组的矩阵表示通常涉及系数矩阵、变量矩阵和常数矩阵。例如，方程组
\[
\begin{align*}
x + 2y - z &= 4 \\
2x - y + 3z &= -6 \\
-x + 3y + 2z &= 7
\end{align*}
\]
可以表示为矩阵形式 \( AX = B \)，其中
\[
A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \\ -1 & 3 & 2 \end{bmatrix}, \quad
X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}, \quad
B = \begin{bmatrix} 4 \\ -6 \\ 7 \end{bmatrix}
\]
利用初等变换求解该方程组，步骤如下：
1. 构造增广矩阵 \( [A|B] \)。
2. 通过行的初等变换将 \( A \) 转换为阶梯形或行最简形。
3. 然后根据 \( A \) 的行最简形式，求解 \( X \)。
具体操作例如：
\[
[A|B] = \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 4 \\ 2 & -1 & 3 & -6 \\ -1 & 3 & 2 & 7 \end{array}\right]
\]
经过初等行变换，得到
\[
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 4 \\ 0 & -5 & 5 & -14 \\ 0 & 5 & 1 & 11 \end{array}\right]
\]
继续变换，最后可以求得 \( X \) 的解。这一过程不仅需要正确的数学技巧，还需要对矩阵变换的理论有深刻的理解。
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