请解释如何使用初等变换来解线性方程组，并结合数学示例进行详细说明。

线性方程组的解可以通过矩阵的初等变换来求解，这是一种非常实用的线性代数技巧。初等变换主要包括行交换、行倍乘、行加减三种类型。运用这些变换，我们可以将线性方程组的增广矩阵转换为行阶梯形矩阵或简化行阶梯形矩阵，从而求解方程组。

参考资源链接：[哈尔滨工程大学《线性代数》期末复习精华资料及答案](https://wenku.csdn.net/doc/18c9fgfqpg?spm=1055.2569.3001.10343)

例如，考虑一个简单的线性方程组：
\[
\begin{align*}
x + 2y - z &= 4 \\
2x - y + 3z &= -6 \\
-x + 3y + 4z &= 7
\end{align*}
\]
首先，我们将这个方程组写成增广矩阵的形式：
\[
\begin{bmatrix}
1 & 2 & -1 & | & 4 \\
2 & -1 & 3 & | & -6 \\
-1 & 3 & 4 & | & 7
\end{bmatrix}
\]
使用初等变换，我们先将第一行的1倍数加到第二行和第三行，得到新的增广矩阵：
\[
\begin{bmatrix}
1 & 2 & -1 & | & 4 \\
0 & -5 & 5 & | & -14 \\
0 & 5 & 3 & | & 11
\end{bmatrix}
\]
接着，我们可以将第二行的1倍数加到第三行，得到：
\[
\begin{bmatrix}
1 & 2 & -1 & | & 4 \\
0 & -5 & 5 & | & -14 \\
0 & 0 & 8 & | & -3
\end{bmatrix}
\]
此时，我们得到了一个行阶梯形矩阵。再对第三行除以8，得到：
\[
\begin{bmatrix}
1 & 2 & -1 & | & 4 \\
0 & -5 & 5 & | & -14 \\
0 & 0 & 1 & | & -3/8
\end{bmatrix}
\]
最后，通过回代求解，我们可以得到z的值为-3/8，再代入前两个方程求解x和y，最终得到方程组的解。

使用初等变换解线性方程组是《哈尔滨工程大学《线性代数》期末复习精华资料及答案》中的一个重要组成部分，该资源详细讲解了线性方程组的矩阵表示以及通过初等变换求解方程组的方法。如果你希望在期末考试中游刃有余地处理这类问题，这份复习资料将是一个不可多得的学习资源。

参考资源链接：[哈尔滨工程大学《线性代数》期末复习精华资料及答案](https://wenku.csdn.net/doc/18c9fgfqpg?spm=1055.2569.3001.10343)