设线性变换V在一组基下的矩阵为diag(J(a1,e1),J(a2,e2)),求V的循环基
时间: 2023-11-12 18:06:08 浏览: 35
设线性变换 $V$ 在基 $\beta = \{v_1,v_2,\ldots,v_n\}$ 下的矩阵为 $A$,其中 $n$ 是向量空间的维度。
设 $A$ 的特征值为 $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_k$,其中 $\lambda_i$ 的代数重数为 $m_i$,几何重数为 $p_i$。我们知道,对于每个特征值 $\lambda_i$,都存在一个 $\lambda_i$ 的不变子空间 $E_{\lambda_i}$,使得 $V$ 在 $E_{\lambda_i}$ 上的限制是 $\lambda_i \cdot \operatorname{Id}$,其中 $\operatorname{Id}$ 是 $E_{\lambda_i}$ 上的恒等变换。
我们对于每个 $\lambda_i$,选择 $\beta$ 中属于 $E_{\lambda_i}$ 的向量 $v_{i,1},v_{i,2},\ldots,v_{i,p_i}$,构成 $\lambda_i$ 的一组循环基 $B_i = \{v_{i,1},v_{i,2},\ldots,v_{i,p_i}\}$。那么 $B_i$ 的生成子空间就是 $E_{\lambda_i}$。
对于每个 $\lambda_i$,我们将矩阵 $A$ 的 $\lambda_i$ 特征值的 Jordan 标准形 $J(\lambda_i)$ 写成块矩阵的形式:
$$
J(\lambda_i) = \begin{bmatrix}
J(a_{i,1},e_{i,1}) & 0 & \cdots & 0 \\
0 & J(a_{i,2},e_{i,2}) & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & J(a_{i,m_i},e_{i,m_i})
\end{bmatrix}
$$
其中,$J(a_{i,j},e_{i,j})$ 是 $\lambda_i$ 的 Jordan 标准形中,对应于 $\lambda_i$ 的 Jordan 块的大小为 $a_{i,j}$,且对应于 $v_{i,j}$ 的 Jordan 块的指数为 $e_{i,j}$ 的那个 Jordan 块。
最后,我们将所有的 $\lambda_i$ 对应的循环基合并起来,得到 $V$ 的循环基:
$$
B = B_1 \cup B_2 \cup \cdots \cup B_k
$$
$B$ 中的向量构成了整个向量空间的一组基,可以表示任意向量。
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