匈牙利算法与带权二分图

匈牙利算法是一种解决最大匹配问题的算法，通常应用在二分图中。二分图是指一个图中的所有节点可以被分成两个不相交的集合，且图中每条边的两个端点分别属于这两个集合中的一个。带权二分图是在二分图的基础上，每条边都带有权重。匈牙利算法通过增广路的方式来不断寻找增大匹配数的路径，直到不能再找到增广路为止。算法的时间复杂度为O(VE)，其中V和E分别表示二分图中的节点数和边数。

相关问题

匈牙利算法二分图匹配

匈牙利算法是用来求解二分图的最大匹配的算法。在二分图的匹配中，给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。而二分图的最大匹配则是指所有匹配中包含边数最多的一组匹配，其边数即为最大匹配数。匈牙利算法就是在判断一个图是否是二分图的基础上，求解二分图的最大匹配的算法。
该算法的核心思想是通过不断寻找增广路径来增加匹配的边数。假设已经有一个暂时的匹配关系，当寻找到一个未被匹配的顶点时，就会进一步寻找与该顶点相连的未被匹配的顶点，如果找到了一条增广路径，就可以将匹配的边数增加，直到无法找到增广路径为止。
通过不断寻找增广路径并增加匹配的边数，最终可以得到二分图的最大匹配。这就是匈牙利算法的基本原理。<span class="em">1</span><span class="em">2</span><span class="em">3</span>
#### 引用[.reference_title]
- *1* *2* *3* [二分图的匹配——匈牙利算法](https://blog.csdn.net/HangHug_L/article/details/114106714)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v93^chatsearchT3_2"}}] [.reference_item style="max-width: 100%"]
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匈牙利算法求二分图的最大匹配数

匈牙利算法是一种用于求解二分图最大匹配问题的经典算法。它的基本思想是通过不断增广增加匹配的边数，直到无法再增广为止。下面是匈牙利算法求解二分图最大匹配数的步骤：

1. 初始化一个空的匹配M。
2. 对于二分图中的每个顶点v，如果v没有被匹配，则从v开始进行增广路径的搜索。
3. 在增广路径的搜索中，从顶点v开始，依次遍历与v相邻的未匹配的顶点u。
4. 如果u没有被访问过，则将u标记为已访问，并尝试将u与v匹配。
5. 如果u已经被访问过，且u已经在当前增广路径中，则说明找到了一个增广路径，需要进行路径的反向操作，即将路径上的所有边的匹配状态进行反转。
6. 重复步骤3-5，直到无法再找到增广路径为止。
7. 返回匹配M的边数，即为二分图的最大匹配数。

下面是一个使用Python实现的匈牙利算法的示例代码：

def hungarian_algorithm(graph):
    def dfs(v):
        for u in graph[v]:
            if not visited[u]:
                visited[u] = True
                if match[u] == -1 or dfs(match[u]):
                    match[u] = v
                    return True
        return False

    match = [-1] * len(graph)
    count = 0
    for v in range(len(graph)):
        visited = [False] * len(graph)
        if dfs(v):
            count += 1
    return count

# 示例二分图的邻接表表示
graph = {
    0: [3],
    1: [3],
    2: [4],
    3: [0, 1, 4],
    4: [2, 3]
}

max_matching = hungarian_algorithm(graph)
print("二分图的最大匹配数为:", max_matching)