在一个非常大的二维战场区域中,随机均匀投放大量传感器节点。假设单位面积中的传感器的平均数量m=0.01,求任意两个相邻节点之间的平均距离和距离第二近的节点间的平均距离。 (可以把这些无线传感器节点看成分布在此区域中的一个PPP,其强度入为单位面积中的传 感器的平均数量,先求出节点与最近邻居的距离分布,然后再求期望值。)
时间: 2024-04-03 11:31:00 浏览: 17
根据泊松点过程的定义,单位面积中传感器节点的数量 $N$ 应该服从参数为 $\lambda=mA$ 的泊松分布,其中 $A$ 是战场区域的面积。
下面我们考虑任意两个相邻节点之间的平均距离。设 $r$ 是节点到其最近邻居的距离,$f(r)$ 是节点到它的最近邻居距离为 $r$ 的概率密度函数,则 $f(r)$ 应该等于在一个以该节点为圆心,$r$ 为半径的圆内恰好有一个节点的概率密度函数。因为节点是随机均匀投放的,所以这个概率密度函数应该是:
$$
f(r) = 2\pi\lambda r e^{-\pi\lambda r^2}
$$
接下来我们可以计算出任意两个相邻节点之间的平均距离:
$$
\begin{aligned}
E[d] &= \int_0^\infty rf(r)dr \\
&= \int_0^\infty 2\pi\lambda r^2 e^{-\pi\lambda r^2}dr \\
&= \frac{1}{2\sqrt{\pi\lambda}} \\
&= \frac{1}{2\sqrt{\pi m A}}
\end{aligned}
$$
接下来我们考虑距离第二近的节点间的平均距离。设 $r_1$ 是节点到其最近邻居的距离,$r_2$ 是节点到其次近邻居的距离,$g(r_1,r_2)$ 是节点到其最近邻居距离为 $r_1$,到其次近邻居距离为 $r_2$ 的概率密度函数。因为节点是随机均匀投放的,所以 $g(r_1,r_2)$ 的表达式为:
$$
g(r_1,r_2) = 2\pi\lambda r_1 e^{-\pi\lambda r_1^2} \cdot 2\pi(\lambda\pi r_1^2) e^{-\pi(\lambda\pi r_1^2)r_2^2}
$$
然后我们可以计算出距离第二近的节点间的平均距离:
$$
\begin{aligned}
E[d'] &= \int_0^\infty \int_0^\infty \sqrt{r_1^2+r_2^2}g(r_1,r_2)dr_1dr_2 \\
&= \int_0^\infty \int_0^\infty \sqrt{r_1^2+r_2^2} \cdot 2\pi\lambda r_1 e^{-\pi\lambda r_1^2} \cdot 2\pi(\lambda\pi r_1^2) e^{-\pi(\lambda\pi r_1^2)r_2^2} dr_1dr_2 \\
&= \frac{1}{\sqrt{\pi\lambda}} \left(1+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{\lambda}}\right) \\
&= \frac{1}{\sqrt{\pi m A}} \left(1+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{m A}}\right)
\end{aligned}
$$
因此,任意两个相邻节点之间的平均距离为 $\frac{1}{2\sqrt{\pi m A}}$,距离第二近的节点间的平均距离为 $\frac{1}{\sqrt{\pi m A}} \left(1+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{m A}}\right)$。
相关推荐
![pdf](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083512.png)
![pdf](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083512.png)
![pdf](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083512.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)