令A(x,y)是含有自由变元x,y的不含量词的公式,f是一元函数符且不在A中出现。 ∀x∃yA(x,y)->∀xA(x,f(x))是否是逻辑有效式?判断并证明你的结论。
时间: 2023-09-03 13:07:42 浏览: 38
首先,我们需要判断这个公式是否是逻辑有效式。一个公式是逻辑有效式,当且仅当它在所有语义解释下都为真。因此,我们需要考虑对于任何可能的解释,公式是否都为真。
假设存在一个解释,使得∀x∃yA(x,y) 为真,但是∀xA(x,f(x))为假。那么根据∀xA(x,f(x))的否定形式,存在一个x,使得A(x,f(x))为假。
因为∀x∃yA(x,y)为真,所以对于任何一个x,都存在一个y,使得A(x,y)为真。我们可以将这个y表示为g(x),即A(x,g(x))为真。
现在我们来考虑A(x,g(x))->A(x,f(x))。因为A不含量词,所以对于任何一个x,A(x,g(x))和A(x,f(x))都是命题,我们只需要考虑它们的真假性。因为A(x,g(x))为真而A(x,f(x))为假,所以A(x,g(x))->A(x,f(x))为假。
但根据蕴含的真值表,当前提为真而结论为假时,蕴含式为假。因此,我们可以得到A(x,g(x))->∀xA(x,f(x))是假的。
因此,我们可以推出对于任何一个解释,如果∀x∃yA(x,y)为真,那么∀xA(x,f(x))也为真。因此,∀x∃yA(x,y)->∀xA(x,f(x))是逻辑有效式。
相关问题
令A(x,y)是含有自由变元x,y的不含量词的公式,f是一元函数符且不在A中出现。 证明∀x∃yA(x,y)可满足当且仅当∀xA(x,f(x))可满足。
我们先证明充分性,即若∀xA(x,f(x))可满足,则∀x∃yA(x,y)可满足。假设存在一个x0使得A(x0,y)不可满足,那么根据否定的全称量化规则,就有∃x0¬A(x0,y)。由于f不在A中出现,可以将f(x0)代入A中,即A(x0,f(x0))不可满足,与前提矛盾。因此,假设不成立,即∀x∃yA(x,y)可满足。
接下来证明必要性,即若∀x∃yA(x,y)可满足,则∀xA(x,f(x))可满足。假设存在一个x1使得A(x1,f(x1))不可满足,那么根据否定的存在量化规则,就有∀y¬A(x1,y)。由于∀x∃yA(x,y)可满足,可以找到一个y0使得A(x1,y0)成立。因为f是一元函数符,可以将f(x1)代入A中,即A(x1,f(x1))成立,与前提矛盾。因此,假设不成立,即∀xA(x,f(x))可满足。
综上所述,∀x∃yA(x,y)可满足当且仅当∀xA(x,f(x))可满足。
matlab求一元函数的导数
对于一元函数,可以使用MATLAB中的diff函数来求导数。diff函数可以对向量或矩阵进行差分运算,返回一个向量或矩阵,表示相邻元素之间的差值。对于一元函数,可以将其表示为一个向量,然后使用diff函数求导数。例如,对于函数y = f(x),可以将其表示为一个向量y,然后使用diff(y)函数求导数。如果需要求高阶导数,可以多次使用diff函数。
如果给定的是离散点,可以使用差分法来求导数。差分法是一种数值计算方法,用于计算函数在某一点处的导数。差分法的基本思想是利用函数在某一点附近的函数值,通过差商的形式来逼近导数的值。对于一元函数,可以使用中心差分公式来计算导数。中心差分公式的形式为:f'(x) ≈ [f(x+h) - f(x-h)] / 2h,其中h为步长。
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