Theil-Sen中值趋势分析和Mann-Kendall检验法原理及公式

Theil-Sen中值趋势分析是一种非参数的统计方法，用于估计数据的趋势。它的原理是基于中位数的斜率估计，即对于给定的数据集，计算每对数据点之间的斜率，然后取这些斜率的中位数作为数据集的趋势估计值。Theil-Sen中值趋势分析的公式为：

$$
\hat{\beta}_{TS} = \text{median}\left(\frac{y_j - y_i}{x_j - x_i}\right)
$$

其中，$\hat{\beta}_{TS}$是数据集的趋势估计值，$y_i$和$x_i$是第$i$个数据点的纵坐标和横坐标，$y_j$和$x_j$是第$j$个数据点的纵坐标和横坐标。

Mann-Kendall检验法是一种非参数的假设检验方法，用于检验数据是否存在趋势。它的原理是比较数据中每对数据点之间的大小关系，然后计算出数据集中逆序对的数量，从而判断数据是否存在趋势。Mann-Kendall检验法的公式为：

$$
S = \sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^{n}\text{sgn}(y_j - y_i)
$$

其中，$S$是逆序对的数量，$y_i$和$y_j$是第$i$个数据点和第$j$个数据点的纵坐标，$\text{sgn}(y_j - y_i)$是符号函数，当$y_j - y_i$大于时为1，小于时为-1，等于时为。如果$S$的值显著大于，则说明数据存在上升趋势；如果$S$的值显著小于，则说明数据存在下降趋势；如果$S$的值接近，则说明数据不存在趋势。

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Theil-Sen中值趋势分析的python代码

以下是Theil-Sen中值趋势分析的Python代码示例：

import numpy as np
from scipy import stats

def theilsen(x, y):
    n = len(x)
    slopes = []
    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
            if x[i] == x[j]:
                continue
            slope = (y[j] - y[i]) / (x[j] - x[i])
            slopes.append(slope)
    median_slope = np.median(slopes)
    return median_slope

# Example usage
x = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10])
y = np.array([3, 4, 4, 6, 7, 8, 10, 11, 11, 12])
slope = theilsen(x, y)
print("Theil-Sen slope estimate:", slope)

此代码计算了一组x，y值的Theil-Sen中值趋势线斜率。Theil-Sen方法通过计算所有可能斜率的中位数来获得最终估计值，而不是像普通最小二乘法那样用所有点的平均值来计算单个斜率。

Theil-Sen Median斜率估计和Mann-Kendall趋势分析的python代码

下面是Theil-Sen Median斜率估计的Python代码：

import numpy as np

def theilsen(x, y):
    n = len(x)
    slopes = []
    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
            if x[i] != x[j]:
                slope = (y[j] - y[i])/(x[j] - x[i])
                slopes.append(slope)
    median_slope = np.median(slopes)
    return median_slope

下面是Mann-Kendall趋势分析的Python代码：

from itertools import combinations

def mannkendall(x):
    n = len(x)
    s = 0
    for i, j in combinations(range(n), 2):
        s += np.sign(x[j] - x[i])
    kendall_tau = s/((n*(n-1))/2)
    
    var_s = n*(n-1)*(2*n+5)/18
    if s > 0:
        z = (s - 1)/np.sqrt(var_s)
    elif s < 0:
        z = (s + 1)/np.sqrt(var_s)
    else:
        z = 0
    
    return kendall_tau, z