小波变换的例子，给出详细的计算步骤

小波变换是一种信号处理技术，可以将信号分解成不同的频率分量，同时保留时间和频率的信息。下面我会以一组离散信号为例，给出小波变换的计算步骤。

假设有一个包含8个数据点的信号：

x = [4, 2, 6, 8, 1, 3, 5, 7]

我们选用 Daubechies-4 小波作为基函数，计算其小波变换：

1. 计算第一层小波变换：

- 将信号分为两个长度为4的子序列：
- x1 = [4, 2, 6, 8]
- x2 = [1, 3, 5, 7]

- 对每个子序列应用 Daubechies-4 小波变换：
- 将每个子序列分解成近似系数和细节系数：
- x1a = [5.66, 7.07, 0.88, -1.41]
- x1d = [-0.71, 1.41, -1.41, -0.71]
- x2a = [0.88, -1.41, 5.66, -2.83]
- x2d = [-0.71, 1.41, -1.41, -0.71]

- 将近似系数和细节系数合并成一个长度为8的序列：
- x1a: [5.66, 7.07, 0.88, -1.41]
- x1d: [-0.71, 1.41, -1.41, -0.71]
- x2a: [0.88, -1.41, 5.66, -2.83]
- x2d: [-0.71, 1.41, -1.41, -0.71]

- 得到第一层小波变换结果：
- cA1 = [6.37, 4.51, 7.78, 5.09]
- cD1 = [-1.41, -0.71, 1.41, -0.71]

2. 计算第二层小波变换：

- 将长度为4的 cA1 序列分为两个长度为2的子序列：
- cA1_1 = [6.37, 4.51]
- cA1_2 = [7.78, 5.09]

- 对每个子序列应用 Daubechies-4 小波变换：
- 将每个子序列分解成近似系数和细节系数：
- cA1_1a = [7.17, -0.56]
- cA1_1d = [0.56, -0.35]
- cA1_2a = [11.25, -0.35]
- cA1_2d = [-0.56, 0.35]

- 将近似系数和细节系数合并成一个长度为4的序列：
- cA1_1: [7.17, -0.56]
- cA1_1d: [0.56, -0.35]
- cA1_2: [11.25, -0.35]
- cA1_2d: [-0.56, 0.35]

- 得到第二层小波变换结果：
- cA2 = [9.43, 5.76]
- cD2 = [-0.91, -0.21]

3. 最终的小波变换结果为：
- cA2: [9.43, 5.76]
- cD2: [-0.91, -0.21]
- cD1: [-1.41, -0.71, 1.41, -0.71]
- cA1: [6.37, 4.51, 7.78, 5.09]