给我一个小波变换的例子，并给出详细的计算步骤

好的，以下是一个小波变换的例子，使用的是 Haar 小波变换。

假设我们有一个长度为 8 的离散信号序列 X，如下所示：
X = [4, 6, 8, 7, 3, 2, 1, 5]

Haar 小波变换的计算步骤如下：

1. 将 X 分解成长度为 2 的子序列：
X1 = [4, 8, 3, 1]
X2 = [6, 7, 2, 5]

2. 对 X1 序列进行平均值和差值计算：
平均值：(4 + 8) / 2 = 6
差值：(4 - 8) / 2 = -2
平均值：(3 + 1) / 2 = 2
差值：(3 - 1) / 2 = 1
得到新的子序列：
X1' = [6, -2, 2, 1]

3. 对 X2 序列进行平均值和差值计算：
平均值：(6 + 7) / 2 = 6.5
差值：(6 - 7) / 2 = -0.5
平均值：(2 + 5) / 2 = 3.5
差值：(2 - 5) / 2 = -1.5
得到新的子序列：
X2' = [6.5, -0.5, 3.5, -1.5]

4. 将 X1' 和 X2' 连接起来，得到 Haar 小波变换后的序列：
W = [6, -2, 2, 1, 6.5, -0.5, 3.5, -1.5]

这就是 Haar 小波变换后的结果，其中前半部分是低频信号部分，后半部分是高频信号部分。在实际应用中，我们可以根据需要保留低频信号部分或高频信号部分，从而实现信号的压缩和降噪等功能。