完全旋转的高斯消元法

完全旋转的高斯消元法是一种求解线性方程组 Ax=b 的方法，它通过对矩阵 A 进行旋转操作，将其转化为上三角矩阵，从而实现消元的过程。该算法的具体步骤如下：

1. 初始化一个置换向量 r = [1, 2,...,n]，其中 r(i) 对应于 A 中的第 i 行。

2. 对于 k = 1,...,n-1，找到 a(r(k),k),a(r(k+1),k),... 中最大的元素 a(p,k)，并将第 p 行与第 k 行交换，即 r(k) 和 r(p) 交换。

3. 对于 i = k+1,...,n，将 A(r(i),k)/A(r(k),k) 的值保存在 A(r(i),k) 中。

4. 对于 i = k+1,...,n，对于 j = k+1,...,n，将 A(r(i),j) 减去 A(r(i),k) * A(r(k),j) / A(r(k),k)。

5. 如果 A(n,n) = 0，则停止计算，因为矩阵 A 是奇异的。

6. 从 A(n,n) 开始，向上回代，计算出 x(n),x(n-1),...,x(1)。

以下是 Python 实现完全旋转的高斯消元法的代码：

import numpy as np

def gauss(A, b):
    n = len(b)
    r = np.arange(n)
    for k in range(n-1):
        p = np.argmax(np.abs(A[r[k:], k])) + k
        if A[r[p], k] == 0:
            raise ValueError("Matrix is singular")
        r[[k, p]] = r[[p, k]]
        for i in range(k+1, n):
            A[r[i], k] /= A[r[k], k]
            for j in range(k+1, n):
                A[r[i], j] -= A[r[i], k] * A[r[k], j]
        b[r[k+1:]] -= A[r[k+1:], k] * b[r[k]]
    if A[r[n-1], n-1] == 0:
        raise ValueError("Matrix is singular")
    x = np.zeros(n)
    x[n-1] = b[r[n-1]] / A[r[n-1], n-1]
    for i in range(n-2, -1, -1):
        x[i] = (b[r[i]] - np.dot(A[r[i], i+1:], x[i+1:])) / A[r[i], i]
    return x