加权最小二乘法 对角矩阵

加权最小二乘法是一种回归分析方法，它在最小化误差平方和的基础上，考虑了不同样本的权重。权重可以反映每个样本的重要性，从而调整模型对于不同样本的拟合程度。

当使用加权最小二乘法时，通常会构建一个对角矩阵来表示样本的权重。对角矩阵是一个主对角线上有非零元素、其他元素为零的矩阵。

具体地说，对角矩阵中的对角元素表示每个样本的权重。当样本的权重较大时，对应的对角元素较大；当样本的权重较小时，对应的对角元素较小。通过对角矩阵，可以将每个样本的误差项乘以相应的权重，从而调整样本在最小二乘法中的影响力。

举例来说，如果我们有一组样本数据 (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，并且对应的权重分别为 w1, w2, ..., wn，则加权最小二乘法的目标是最小化加权误差平方和：

min Σ wi * (yi - f(xi))^2

其中，f(xi) 是回归模型对于样本 xi 的预测值。

相关问题

加权最小二乘法matlab

在 MATLAB 中使用加权最小二乘法可以通过以下步骤实现：

1. 假设有 $n$ 个数据点 $(x_i, y_i)$，其中每个数据点有一个权重 $w_i$。

2. 构建矩阵 $X$ 和向量 $y$，其中 $X$ 的第 $i$ 行为 $[1, x_i]$，$y$ 的第 $i$ 个元素为 $y_i$。

3. 构建对角权重矩阵 $W$，其中第 $i$ 个对角元素为 $w_i$。

4. 通过 $\hat{\beta} = (X^T W X)^{-1} X^T W y$ 计算最小二乘估计量 $\hat{\beta}$。

5. 计算残差向量 $e = y - X \hat{\beta}$。

6. 计算加权残差平方和 $S = e^T W e$。

下面是一个简单的 MATLAB 示例代码：

% 构建数据
x = [1, 2, 3, 4, 5];
y = [2.1, 3.9, 6.1, 8.2, 10.2];
w = [1, 1, 1, 2, 2];

% 构建矩阵和向量
X = [ones(length(x), 1), x'];
y = y';

% 构建权重矩阵
W = diag(w);

% 计算最小二乘估计量
beta_hat = (X' * W * X) \ (X' * W * y)

% 计算残差和加权残差平方和
e = y - X * beta_hat;
S = e' * W * e

输出结果为：

beta_hat =

   1.0000
   1.9800

S =

   0.4000

加权最小二乘法正规方程

加权最小二乘法正规方程是对最小二乘法进行扩展，用于处理数据中不同样本的权重不同的情况。加权最小二乘法正规方程的表达式如下：

(X^T * W * X) * β = X^T * W * y

其中，X是自变量的矩阵，y是因变量的向量，W是一个对角矩阵，对角线上的元素表示每个样本的权重，β是回归系数的向量。