Zernike矩原理

Zernike矩是一种基于极坐标的图像描述符，它可以用来描述图像的形状、纹理等特征。它的原理是将图像转换到极坐标系下，然后将图像分解成一系列的正交函数，这些正交函数就是Zernike多项式。通过计算图像在这些正交函数上的投影系数，就可以得到一组Zernike矩，这些矩可以用来描述图像的形状、纹理等特征。Zernike矩具有旋转不变性，但不具有平移和尺度不变性，因此需要对图像进行归一化处理。＊＊＊

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Zernike 矩亚像素边缘检测算法原理

### Zernike矩亚像素边缘检测算法原理

Zernike矩是一种正交矩，在图像处理领域被广泛用于描述物体形状特征。该方法通过定义一组完备的、在单位圆内正交的多项式基函数来表示目标区域内的灰度分布情况[^1]。

对于亚像素级别的边缘检测而言，传统的方法难以达到高精度的要求。而基于Zernike矩的方案能够提供更加精确的结果。具体来说，此技术利用了Zernike矩对局部结构敏感的特点，可以有效地捕捉到微小的变化并准确定位边界位置[^2]。

当应用于计算机视觉中的图像处理任务时，首先需要将待分析的对象映射至极坐标系下的圆形区域内；接着计算各个阶次对应的复数形式系数作为特征向量；最后依据这些参数重建原始轮廓曲线，并从中提取出所需的边缘信息完成定位操作[^3]。

import numpy as np

def zernike_moments(image, radius=64, degree_max=8):
    """Calculate the Zernike moments of an image."""
    
    # Convert Cartesian coordinates to polar ones within a circle mask.
    y, x = np.indices((radius * 2 + 1,) * 2) - radius
    r = np.sqrt(x ** 2 + y ** 2).astype(np.float32)
    theta = np.arctan2(-y, x)

    # Create circular mask and apply it on input image.
    mask = (r <= float(radius))
    masked_image = np.zeros_like(r)
    masked_image[mask] = image[r[mask].astype(int), 
                              ((theta[mask]/np.pi*0.5+0.5)*image.shape[1]).astype(int)]

    # Calculate radial polynomials up to given maximum order.
    def Rnm(n, m, rho):
        abs_m = abs(m)
        result = []
        for k in range(((n-abs_m)//2)+1):
            term = (-1)**k * math.factorial(n-k)\
                   / (math.factorial(k) *
                      math.factorial((n+abs_m)/2-k) *
                      math.factorial((n-abs_m)/2-k))\
                   * rho**(n-2*k)
            result.append(term)
        return sum(result)

    # Compute all required orders/degrees combinations.
    moments = {}
    for n in range(degree_max + 1)[::2]:
        for m in range(0-n,n+1,2):            
            moment_real = (masked_image * 
                           cv2.multiply(cv2.pow(r.astype('float'), n),
                                        np.cos(m*theta))).sum()
            moment_imaginary = (masked_image *
                                cv2.multiply(cv2.pow(r.astype('float'), n),
                                             np.sin(m*theta))).sum()

            moments[(n,m)] = complex(moment_real,
                                    moment_imaginary)

    return moments