一平面通过两点M0(1,1,1)和M1(0,1,-1)且垂直于平面x+y+8=0,则该平面方程可表示为?
时间: 2023-10-07 14:13:03 浏览: 20
首先,平面 $xy=8$ 在三维空间中可以看作是 $z=0$ 的平面,因为平面上的所有点都满足 $z=0$。
现在考虑一个垂直于 $xy=8$ 的平面,可以考虑取平面上的一个点,例如 $P(2,2,0)$,然后取该点与 $M_0$ 和 $M_1$ 的向量,分别为 $\vec{a}=\begin{pmatrix}1-2\\1-2\\1-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}$ 和 $\vec{b}=\begin{pmatrix}0-2\\1-2\\-1-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-1\\-1\end{pmatrix}$。
由于垂直于平面 $xy=8$ 的平面必定与 $xy=8$ 平面上的法向量垂直,因此可以取 $xy=8$ 平面的法向量 $\vec{n}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$,并要求该向量与 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 都垂直,即 $\vec{n}\cdot\vec{a}=0$ 且 $\vec{n}\cdot\vec{b}=0$。
将 $\vec{n}$ 和 $\vec{a}$ 代入第一个式子中,得到 $0=(-1)\cdot0+(-1)\cdot0+1\cdot n_3$,即 $n_3=1$。将 $\vec{n}$ 和 $\vec{b}$ 代入第二个式子中,得到 $0=(-2)\cdot0+(-1)\cdot0+(-1)\cdot n_3$,即 $n_3=1$。因此,$\vec{n}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$。
现在可以通过点 $P$ 和法向量 $\vec{n}$ 来确定平面方程,即 $(x-2)\cdot0+(y-2)\cdot0+(z-0)\cdot1=0$,即 $z=2-x-y$。因此,该平面的方程为 $z=2-x-y$。