将1/(1-x-x²)展开为x³的幂级函数

首先，我们可以使用部分分式分解将1/(1-x-x²)分解为以下形式：

1/(1-x-x²) = A/(x+φ) + B/(x+Φ) + C/(1-Φx)

其中，φ 和 Φ 是第一和第二个黄金分割比例，它们是关于x²-x-1=0的两个实根，其值分别为：

φ = (1-√5)/2 ≈ -0.618
Φ = (1+√5)/2 ≈ 1.618

然后，我们可以对每个分式进行展开，得到以下形式：

1/(1-x-x²) = A/(x+φ) + B/(x+Φ) + C/(1-Φx)
= A(x+Φ)/(1-Φ²x²) + B(x+φ)/(1-φ²x²) + C(φx+Φ)/(1-Φx)

接下来，我们可以使用幂级数公式将每个分式展开为幂级数，得到以下形式：

1/(1-x-x²) = A(x+Φ)/(1-Φ²x²) + B(x+φ)/(1-φ²x²) + C(φx+Φ)/(1-Φx)
= A(x+Φ)∑(n≥0)(Φ²x²)ⁿ + B(x+φ)∑(n≥0)(φ²x²)ⁿ + C(φx+Φ)∑(n≥0)(Φx)ⁿ

然后，我们可以将每一项中的x³提取出来，得到以下形式：

1/(1-x-x²) = AΦ²x³∑(n≥0)(Φ²x²)ⁿ + Bφ²x³∑(n≥0)(φ²x²)ⁿ + CΦ(φx)³∑(n≥0)(Φx)ⁿ

最后，我们可以将每个幂级数中的项数限制为3以上，得到最终的展开式：

1/(1-x-x²) = AΦ²x³(1+Φ²x²+Φ⁴x⁴+...) + Bφ²x³(1+φ²x²+φ⁴x⁴+...) + CΦ(φx)³(1+Φx+Φ²x²+...)

因此，将1/(1-x-x²)展开为x³的幂级函数的结果为：

1/(1-x-x²) = AΦ²x³+ Bφ²x³+ CΦ(φx)³