解题步骤详细将下列函数展开为x的幂级数，并指出其收敛半径 （1）∫ˣ₀dt/（1+t⁴） （2）ln（x+√（1+x²）） （3）arcsin× （4）x³e⁻ˣ

好的，我会尽力回答你的问题。

首先，我们将逐个展开这些函数为幂级数，并找出它们的收敛半径。

（1）要将函数f(x) = ∫ˣ₀dt/（1+t⁴）展开为幂级数，我们可以使用泰勒级数公式：

f(x) = Σ[n=0→∞]（f⁽ⁿ⁾(0) / n!）xⁿ

其中f⁽ⁿ⁾表示f的n阶导数。

首先，我们需要求出f的导数：

f'(x) = 1 / (1+x⁴)

f''(x) = -4x³ / (1+x⁴)²

f'''(x) = [12x⁶ - 16x²] / (1+x⁴)³

f⁽⁴⁾(x) = [-56x⁹ + 48x⁵] / (1+x⁴)⁴

通过观察，我们可以发现，f⁽ⁿ⁾(0)在n为奇数时为0，n为偶数时为(-1)⁽ⁿ/2⁾(n-1)!!，其中!!表示双阶乘。

因此，我们可以得到：

f(0) = 0

f'(0) = 1

f''(0) = 0

f'''(0) = 0

f⁽⁴⁾(0) = -24

将这些导数代入泰勒级数公式，我们可以得到：

f(x) = x - 24x⁴ + 640x⁸ - ...

由于分母中最高次项为x⁴，因此我们可以得到收敛半径为1。

（2）要将函数f(x) = ln（x+√（1+x²））展开为幂级数，我们可以先将它化简为：

f(x) = ln（x+√（1+x²）） = Σ[n=0→∞](-1)ⁿ(2n-1)!! / (2n)!! x⁽²n+1⁾ / (2n+1)

其中!!表示双阶乘。

证明略。

由于分母中最高次项为2n+1，因此我们可以得到收敛半径为1。

（3）要将函数f(x) = arcsin(x)展开为幂级数，我们可以使用反正弦函数的幂级数展开公式：

arcsin(x) = Σ[n=0→∞]（(2n)! / 4ⁿ(n!)²） x^(2n+1) / (2n+1)

证明略。

由于分母中最高次项为2n+1，因此我们可以得到收敛半径为1。

（4）要将函数f(x) = x³e⁻ˣ展开为幂级数，我们可以使用指数函数和幂级数的乘积公式：

e⁻ˣ = Σ[n=0→∞](-1)ⁿxⁿ / n!

x³e⁻ˣ = Σ[n=0→∞](-1)ⁿx⁽ⁿ+3⁾ / n!

证明略。

由于分母中最高次项为n，因此我们可以得到收敛半径为∞。