3.设y=y(x）可微，且y(x)=∫₀ˣy(t)dt+eˣ，试求y（x）

这是一个数学问题，不是IT类问题，但我可以帮您回答。根据题目，我们可以对y(x)求导，得到：

y'(x) = y(x) + e^x

这是一个一阶非齐次线性微分方程，可以使用常数变易法求解。令y(x) = C(x) * e^x，代入原方程得：

C'(x) = 1

解得C(x) = x + K，其中K为常数。因此，

y(x) = (x + K) * e^x

再根据初始条件y(0) = 0，得到：

K = -1

因此，

y(x) = (x - 1) * e^x

相关问题

解题步骤详细将下列函数展开为x的幂级数，并指出其收敛半径 （1）∫ˣ₀dt/（1+t⁴） （2）ln（x+√（1+x²）） （3）arcsin× （4）x³e⁻ˣ

好的，我会尽力回答你的问题。

首先，我们将逐个展开这些函数为幂级数，并找出它们的收敛半径。

（1）要将函数f(x) = ∫ˣ₀dt/（1+t⁴）展开为幂级数，我们可以使用泰勒级数公式：

f(x) = Σ[n=0→∞]（f⁽ⁿ⁾(0) / n!）xⁿ

其中f⁽ⁿ⁾表示f的n阶导数。

首先，我们需要求出f的导数：

f'(x) = 1 / (1+x⁴)

f''(x) = -4x³ / (1+x⁴)²

f'''(x) = [12x⁶ - 16x²] / (1+x⁴)³

f⁽⁴⁾(x) = [-56x⁹ + 48x⁵] / (1+x⁴)⁴

通过观察，我们可以发现，f⁽ⁿ⁾(0)在n为奇数时为0，n为偶数时为(-1)⁽ⁿ/2⁾(n-1)!!，其中!!表示双阶乘。

因此，我们可以得到：

f(0) = 0

f'(0) = 1

f''(0) = 0

f'''(0) = 0

f⁽⁴⁾(0) = -24

将这些导数代入泰勒级数公式，我们可以得到：

f(x) = x - 24x⁴ + 640x⁸ - ...

由于分母中最高次项为x⁴，因此我们可以得到收敛半径为1。

（2）要将函数f(x) = ln（x+√（1+x²））展开为幂级数，我们可以先将它化简为：

f(x) = ln（x+√（1+x²）） = Σ[n=0→∞](-1)ⁿ(2n-1)!! / (2n)!! x⁽²n+1⁾ / (2n+1)

其中!!表示双阶乘。

证明略。

由于分母中最高次项为2n+1，因此我们可以得到收敛半径为1。

（3）要将函数f(x) = arcsin(x)展开为幂级数，我们可以使用反正弦函数的幂级数展开公式：

arcsin(x) = Σ[n=0→∞]（(2n)! / 4ⁿ(n!)²） x^(2n+1) / (2n+1)

证明略。

由于分母中最高次项为2n+1，因此我们可以得到收敛半径为1。

（4）要将函数f(x) = x³e⁻ˣ展开为幂级数，我们可以使用指数函数和幂级数的乘积公式：

e⁻ˣ = Σ[n=0→∞](-1)ⁿxⁿ / n!

x³e⁻ˣ = Σ[n=0→∞](-1)ⁿx⁽ⁿ+3⁾ / n!

证明略。

由于分母中最高次项为n，因此我们可以得到收敛半径为∞。

设函数 f(x)= xeᵃ⁻ˣ+bx，曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为切线方程为y=(e-1)x+4 (1)求ab的值 (2)求f(x)的单区间.

好的，请稍等，我来为您解答。

首先，由题意可知，切线方程为 $y=(e-1)x+4$，那么在点 $(2,f(2))$ 处的斜率就是 $e-1$，即 $f'(2)=e-1$。

又因为 $f(x)=xe^{a-x}+bx$，所以 $f'(x)=e^{a-x}-xe^{a-x}+b$，将 $x=2$ 代入可得：

$$f'(2)=e^{a-2}-2e^{a-2}+b=e-1$$

将上式两边同时加上 $2e^{a-2}-b$，可得：

$$e^{a-2}+b=e+1$$

又因为 $f(2)=2e^{a-2}+2b$，将 $f(2)$ 和上式代入可得：

$$2e^{a-2}+2b=4e-6$$

将 $e^{a-2}+b=e+1$ 代入上式，可得：

$$2(e+1)=4e-6$$

解得 $e=4$，代入 $e^{a-2}+b=e+1$ 中，可得 $a=2$，$b=-3$。

因此，$ab=-6$。

接下来，求 $f(x)$ 的单调区间。

首先，$f'(x)=e^{2-x}-xe^{2-x}-3$，令 $f'(x)=0$，可得：

$$x=2-\ln3$$

当 $x<2-\ln3$ 时，$f'(x)<0$，$f(x)$ 严格单调递增；

当 $x>2-\ln3$ 时，$f'(x)>0$，$f(x)$ 严格单调递减。

因此，$f(x)$ 的单调区间为 $\left(-\infty,2-\ln3\right]$ 和 $\left[2-\ln3,\infty\right)$。

综上所述，$ab=-6$，$f(x)$ 的单调区间为 $\left(-\infty,2-\ln3\right]$ 和 $\left[2-\ln3,\infty\right)$。