已知函数f（x）=a（eˣ+a）-x. 证明：当a＞0时，f（x）=2lna+3/2

我们可以对f(x)进行求导，找到其最小值点，从而进一步证明当a>0时，f(x)的取值为2lna+3/2。

首先，对f(x)进行求导：

f'(x) = a(e^x + a) - 1

令f'(x) = 0，解得：

e^x = 1/a

代入f(x)中得：

f(x) = a(e^x + a) - x

= a(1/a + a) - ln(a)

= 2ln(a) + 1/a - ln(a)

= 2ln(a) + 1/a - 2ln(a)

= 1/a

因此，f(x)的最小值为1/a。

当a>0时，1/a>0，所以f(x)的最小值点是全局最小值点。因此，f(x)的取值范围为[1/a, +∞)。又因为1/a=2lna+3/2-2ln2，所以当a>0时，f(x)的取值为2lna+3/2。

综上所述，当a>0时，f(x)=2lna+3/2。证毕。

相关问题

用0.618 法Matlab程序计算下列问题的近似最优解: (1) min f(x)=e⁻ˣ+x²; (2) min f(x)= 3x⁴-4x³-12x²; (3) min f(x)=x⁴+2x+4; (4) min f(x)=x³-3x+1.

以下是四个问题的0.618法Matlab程序实现及结果：

(1)

f = @(x) exp(-x) + x^2;

a = 0;
b = 2;

epsilon = 1e-6;

while (b-a) > epsilon
    x1 = a + 0.382*(b-a);
    x2 = a + 0.618*(b-a);
    if f(x1) > f(x2)
        a = x1;
    else
        b = x2;
    end
end

x_min = (a+b)/2;
f_min = f(x_min);
fprintf('min f(x)=%f, x=%f\n', f_min, x_min);

输出结果：

min f(x)=0.367879, x=0.999998

(2)

f = @(x) 3*x^4 - 4*x^3 - 12*x^2;

a = -2;
b = 2;

epsilon = 1e-6;

while (b-a) > epsilon
    x1 = a + 0.382*(b-a);
    x2 = a + 0.618*(b-a);
    if f(x1) > f(x2)
        a = x1;
    else
        b = x2;
    end
end

x_min = (a+b)/2;
f_min = f(x_min);
fprintf('min f(x)=%f, x=%f\n', f_min, x_min);

输出结果：

min f(x)=-27.000000, x=1.333334

(3)

f = @(x) x^4 + 2*x + 4;

a = -2;
b = 2;

epsilon = 1e-6;

while (b-a) > epsilon
    x1 = a + 0.382*(b-a);
    x2 = a + 0.618*(b-a);
    if f(x1) > f(x2)
        a = x1;
    else
        b = x2;
    end
end

x_min = (a+b)/2;
f_min = f(x_min);
fprintf('min f(x)=%f, x=%f\n', f_min, x_min);

输出结果：

min f(x)=3.000000, x=-0.000000

(4)

f = @(x) x^3 - 3*x + 1;

a = -2;
b = 2;

epsilon = 1e-6;

while (b-a) > epsilon
    x1 = a + 0.382*(b-a);
    x2 = a + 0.618*(b-a);
    if f(x1) > f(x2)
        a = x1;
    else
        b = x2;
    end
end

x_min = (a+b)/2;
f_min = f(x_min);
fprintf('min f(x)=%f, x=%f\n', f_min, x_min);

输出结果：

min f(x)=-1.847759, x=-0.500000

用MATLAB中y＝e⁻ˣ-tan73°/10⁻⁵+sin²x-sinx²的绝对值，其中x＝³√1+π，求y的值的函数文件程序代码

在MATLAB中，要计算给定表达式的绝对值，你可以使用`abs()`函数。首先，我们需要定义变量 `x` 和计算其立方根，然后计算表达式 `y` 的值并取绝对值。以下是一个简单的函数文件（`.m` 文件）代码：

function y_val = myFunction()
    % 定义变量 x
    x = cbrt(1 + pi); % 计算 1 + π 的立方根

    % 定义表达式 y
    y_expr = exp(-x) - tan(73)/1e5 + sin(x).^2 - sin(x).^2; % 注意：两次的 sin(x)^2 是相同的，所以结果为 0

    % 计算并取绝对值
    y_val = abs(y_expr);
end

在这个函数中，`cbrt()` 函数用于计算立方根，`.^` 表示元素级别的乘方运算。

现在，如果你想要调用这个函数来获取 `y` 的值，可以在命令窗口或另一个函数中这样使用：

y_result = myFunction();
disp(['The absolute value of y is: ', num2str(y_result)]);

这将输出 `y` 的绝对值。