∫1/（x³+3x²+1）

这是一个积分问题，该函数的分母可以写成x^2(x+3)+1的形式。我们可以使用部分分式分解来求解该积分，将分母进行分解得到：

1/(x^3+3x^2+1) = A/x + B/(x^2+3x+1) + C/(x+3)

其中A、B、C分别为待求系数。通过求解上式的分子，我们可以得到：

1 = A(x^2+3x+1)(x+3) + Bx(x+3) + Cx^2(x+3+1)

将x分别取0、-3、-1，代入上式即可求得A、B、C的值。通过求积分，我们可以得到最终的结果：

∫1/(x^3+3x^2+1) = (2/3)ln|x+3| - (1/3)ln|x^2+3x+1| + C

其中C为积分常数。

相关问题

dy/dx+(x+(1+3x²)/(1+x+x³))y=x³+2x+x²(1+3x²)/(1+x+x³) y(0)=1

这是一个一阶线性常微分方程，可以使用常数变易法来求解。

首先，求出对应的齐次方程的通解：

dy/dx + xy = 0

将dy/dx 和 y 分离变量，得到：

dy / y = -x dx

两边同时积分，得到：

ln|y| = -1/2 x² + C1

其中，C1 是一个任意常数。解出 y，得到：

y = Ce^(-1/2 x²)

其中，C 是一个任意常数。

接下来，使用常数变易法，假设通解为：

y = u(x)e^(-1/2 x²)

将 y 和它的导数带入原方程中：

(u' + xu)e^(-1/2 x²) + (x+(1+3x²)/(1+x+x³))u(x)e^(-1/2 x²) = x³+2x+x²(1+3x²)/(1+x+x³)

化简得到：

u'(x)e^(-1/2 x²) = x³e^(1/2 x²)

两边同时积分，得到：

u(x) = 1/2 ∫x³ e^(1/2 t²) dt + C2

其中，C2 是一个任意常数。

因此，通解为：

y = Ce^(-1/2 x²) + 1/2 e^(-1/2 x²) ∫x³ e^(1/2 t²) dt

将初始条件 y(0) = 1 带入，得到：

C + 1/2 ∫0³ e^(1/2 t²) dt = 1

解出常数 C，得到：

C = 1 - 1/2 ∫0³ e^(1/2 t²) dt

将 C 带入通解中，即可得到特解。

dy/dx+(x+(1+3x²)/(1+x+x³))y=x³+2x+x²(1+3x²)/(1+x+x³) y(0)=1.

这是一个一阶线性常微分方程，可以使用常数变易法来求解。

首先，求出对应的齐次方程的通解：

dy/dx + xy = 0

将dy/dx 和 y 分离变量，得到：

dy/y = -x dx

两边同时积分，得到：

ln|y| = -1/2 x² + C1

其中，C1 是一个任意常数。解出 y，得到：

y = Ce^(-1/2 x²)

其中，C 是一个任意常数。

接下来，使用常数变易法，假设通解为：

y = u(x)e^(-1/2 x²)

将 y 和它的导数带入原方程中：

(u' + xu)e^(-1/2 x²) + (x+(1+3x²)/(1+x+x³))u(x)e^(-1/2 x²) = x³+2x+x²(1+3x²)/(1+x+x³)

化简得到：

u'(x)e^(-1/2 x²) = x³e^(1/2 x²)

两边同时积分，得到：

u(x) = 1/2 ∫x³ e^(1/2 t²) dt + C2

其中，C2 是一个任意常数。

因此，通解为：

y = Ce^(-1/2 x²) + 1/2 e^(-1/2 x²) ∫x³ e^(1/2 t²) dt

将初始条件 y(0) = 1 带入，得到：

C + 1/2 ∫0³ e^(1/2 t²) dt = 1

解出常数 C，得到：

C = 1 - 1/2 ∫0³ e^(1/2 t²) dt

将 C 带入通解中，即可得到特解。