x(cos x)²在0到2π上的定积分
时间: 2024-05-30 15:12:58 浏览: 11
首先,我们将x(cos x)²展开:
x(cos x)² = xcos² x = x(1-sin²x)
现在我们可以将其积分:
∫₀²π x(cos x)² dx = ∫₀²π x(1-sin²x) dx
使用分部积分法,令 u=x 和 dv=(1-sin²x)dx,则 du=dx 和 v=x - (1/3)sin³x,因此:
∫₀²π x(1-sin²x) dx = [x(x - (1/3)sin³x)]₀²π - ∫₀²π (x - (1/3)sin³x) dx
现在我们可以计算右侧的积分:
∫₀²π (x - (1/3)sin³x) dx = [1/2 x² + (1/9)cos³x]₀²π = [1/2 (π² - 0²) + (1/9)(1 - (-1))] = (π²/2) + (2/9)
因此,原积分的值为:
∫₀²π x(cos x)² dx = (π²/2) + (2/9) ≈ 5.618
相关问题
求xsin2x从0到π的定积分
要求定积分 ∫0^π xsin2x dx,可以使用分部积分法。
首先令 u = x,dv = sin2x dx,则 du = dx,v = -1/2cos2x。
根据分部积分公式,可得:
∫0^π xsin2x dx = [-1/2x cos2x]0^π + 1/2∫0^π cos2x dx
再令 u = 1/2 sin2x,dv = dx,则 du = cos2x dx,v = x。
根据分部积分公式,可得:
1/2∫0^π cos2x dx = [1/2 x sin2x]0^π - 1/4∫0^π sin2x dx
由于 sin2x 是奇函数,积分区间为对称区间,所以 ∫0^π sin2x dx = 0。
代入上式可得:
1/2∫0^π cos2x dx = [1/2 x sin2x]0^π = 0
因此,
∫0^π xsin2x dx = [-1/2x cos2x]0^π = -1/2π cos2π + 1/2π cos0 = 1/2π
所以,原定积分的值为 1/2π。
从0到π计算定积分E**(-(x**2))*cos(x**3)
计算从0到π的定积分E**(-(x**2))*cos(x**3)可以使用数值积分的方法,例如使用数值积分的方法中的梯形法则或者辛普森法则。这里我以辛普森法则为例进行介绍。
辛普森法则是一种数值积分方法,它将积分区间划分为若干个小区间,并在每个小区间上使用二次多项式来逼近被积函数。具体步骤如下:
1. 将积分区间[0, π]等分为n个小区间,每个小区间的宽度为h = (π - 0) / n。
2. 计算被积函数在每个小区间的三个节点上的函数值:x0 = 0, x1 = h, x2 = 2h。
3. 根据辛普森法则的公式,计算每个小区间上的积分近似值:
∫[x0, x2] f(x) dx ≈ (h / 3) * [f(x0) + 4f(x1) + f(x2)]
4. 将所有小区间上的积分近似值相加得到最终的定积分近似值。
根据以上步骤,我们可以计算从0到π的定积分E**(-(x**2))*cos(x**3)的近似值。