(2/pi)∫ x^2·cos(nx)dx在0到pi上的积分
时间: 2023-12-09 21:04:57 浏览: 38
根据分部积分公式,可以将被积函数分解为两部分:
f(x) = x^2 · cos(nx) = x^2 · (1/n) · d/dx(sin(nx))
则原式变为:
(2/pi) ∫ x^2 · cos(nx) dx = (2/pi) ∫ x^2 · (1/n) · d/dx(sin(nx)) dx
应用分部积分公式:
u = x^2, dv = (1/n) · d/dx(sin(nx)) dx
则有:
du = 2x dx, v = (1/n) · sin(nx)
将 u, v, dv 带入分部积分公式,得到:
(2/pi) ∫ x^2 · (1/n) · d/dx(sin(nx)) dx = (2/pi) [(x^2/n) · sin(nx) | 0 to pi - (2/pi) ∫ (2x/n) · sin(nx) dx | 0 to pi
将上述结果带入原式得到:
(2/pi) ∫ x^2·cos(nx)dx = (2/pi) [(pi^2)/(n^2) · (-1)^n - 2(pi/n^3) · ((-1)^n - 1)]
因此,所求积分为:
(2/pi) ∫ x^2·cos(nx)dx = (2/pi) [(pi^2)/(n^2) · (-1)^n - 2(pi/n^3) · ((-1)^n - 1)],其中 n 为正整数。
相关问题
求0到pi上x×cosnx的积分
这是一个定积分,可以使用分部积分法来求解。设 $u=x$,$dv=cos(nx)dx$,则 $du=dx$,$v=\frac{1}{n}sin(nx)$,于是有:
$$
\begin{aligned}
\int_{0}^{\pi} xcos(nx)dx &= \left[\frac{x}{n}sin(nx)\right]_{0}^{\pi} - \frac{1}{n}\int_{0}^{\pi}sin(nx)dx \\
&= \frac{\pi}{n}(-1)^{n+1}
\end{aligned}
$$
因此,积分的结果为 $\frac{\pi}{n}(-1)^{n+1}$。
ho*c*(∂T/∂t)=k*(∂²T/∂r²)-(6/r)*(∂T/∂r)+cos(2*pi*f*t)能帮我用matlab差分法来求解这个方程吗
当使用差分法求解偏微分方程时,我们将方程中的偏导数用差分近似表示,并在离散的网格点上计算方程的近似解。下面是一个用差分法求解你提供的方程的示例 Matlab 代码:
```matlab
function temperatureSolver
L = 1; % 区域长度
T = 10; % 总时间
nx = 100; % 空间离散点数
nt = 1000; % 时间离散点数
dx = L / (nx-1); % 空间步长
dt = T / nt; % 时间步长
x = linspace(0, L, nx); % 空间网格点
t = linspace(0, T, nt); % 时间网格点
r = dt / (dx^2); % 差分参数
u = zeros(nx, nt); % 温度矩阵
u(:, 1) = sin(pi*x); % 初始条件
for j = 2:nt
for i = 2:nx-1
u(i, j) = u(i, j-1) + r * (u(i+1, j-1) - 2*u(i, j-1) + u(i-1, j-1)) - r * (6 / x(i)) * (u(i, j-1) - u(i-1, j-1)) + r * cos(2*pi*f*t(j));
end
end
[X, T] = meshgrid(x, t);
surf(X, T, u');
xlabel('Position (x)');
ylabel('Time (t)');
zlabel('Temperature (T)');
end
```
在这个示例中,我们使用了一个简单的网格,包含 nx 个离散点和 nt 个时间步长。我们使用二阶中心差分近似来计算偏导数。通过迭代计算网格点上的温度值,我们最终得到温度随位置和时间的变化情况。
请注意,你需要根据实际情况修改方程中的参数和初始条件,并选择合适的空间和时间离散点数。