用傅里叶变换分解π平方/6
时间: 2023-07-12 09:15:20 浏览: 249
欢迎提问!要分解 $\pi^2/6$ 需要用到狄利克雷核,它是一个周期为 $2\pi$ 的函数,定义为:
$$D(x)=\frac{1}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\cos(nx)$$
狄利克雷核的积分性质是:
$$\int_0^{2\pi} D(x) dx = \pi$$
因此,我们可以将 $\pi^2/6$ 写成以下形式:
$$\frac{\pi^2}{6}=\frac{1}{2}\pi^2-\frac{1}{2}\pi^2+\pi^2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2}$$
将 $\cos(nx)$ 展开成指数形式,有:
$$\cos(nx) = \frac{1}{2}(e^{inx}+e^{-inx})$$
代入狄利克雷核的定义式,有:
$$D(x)=\frac{1}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\cos(nx)=\frac{1}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2}(e^{inx}+e^{-inx})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{inx}$$
所以,$\pi^2/6$ 的傅里叶级数为:
$$\frac{\pi^2}{6}=\frac{1}{2}\pi^2-\frac{1}{2}\pi^2+\pi^2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2}=-\frac{1}{2}\pi^2+4\pi^2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{(2n)^2}=\pi^2\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(n+\frac{1}{2})^2}$$
其中最后一步用到了偶函数的性质,将奇偶性合并。
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