用傅里叶变换分解π平方/6

欢迎提问！要分解 $\pi^2/6$ 需要用到狄利克雷核，它是一个周期为 $2\pi$ 的函数，定义为：

$$D(x)=\frac{1}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\cos(nx)$$

狄利克雷核的积分性质是：

$$\int_0^{2\pi} D(x) dx = \pi$$

因此，我们可以将 $\pi^2/6$ 写成以下形式：

$$\frac{\pi^2}{6}=\frac{1}{2}\pi^2-\frac{1}{2}\pi^2+\pi^2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2}$$

将 $\cos(nx)$ 展开成指数形式，有：

$$\cos(nx) = \frac{1}{2}(e^{inx}+e^{-inx})$$

代入狄利克雷核的定义式，有：

$$D(x)=\frac{1}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\cos(nx)=\frac{1}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2}(e^{inx}+e^{-inx})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{inx}$$

所以，$\pi^2/6$ 的傅里叶级数为：

$$\frac{\pi^2}{6}=\frac{1}{2}\pi^2-\frac{1}{2}\pi^2+\pi^2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2}=-\frac{1}{2}\pi^2+4\pi^2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{(2n)^2}=\pi^2\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(n+\frac{1}{2})^2}$$

其中最后一步用到了偶函数的性质，将奇偶性合并。