xsinnx在【0,Π】上的定积分
时间: 2024-01-11 11:24:53 浏览: 131
根据定积分的定义,可以将 xsin(nx) 在区间 [0, π] 上的定积分表示为:
∫[0,π] x·sin(nx) dx
要求这个定积分,可以使用分部积分法。
令 u = x,dv = sin(nx) dx, 则 du = dx, v = (-1/n)cos(nx)
将 u 和 v 代入分部积分公式:
∫ u dv = uv - ∫ v du
即可得到:
∫[0,π] x·sin(nx) dx = [-1/n·x·cos(nx)]|[0,π] + 1/n ∫[0,π] cos(nx) dx
代入上下限并计算第一项:
[-1/n·x·cos(nx)]|[0,π] = (-1/n)π·cos(nπ) + (1/n)0·cos(0) = (-1/n)π·cos(nπ)
第二项的积分为:
1/n ∫[0,π] cos(nx) dx = 1/n·sin(nx)/n|[0,π] = (1/n^2)·(sin(nπ) - sin(0)) = 0
因为 sin(nπ) = 0(n为整数),sin(0) = 0,所以第二项为0。
将第一项和第二项代入原式,得到:
∫[0,π] x·sin(nx) dx = (-1/n)π·cos(nπ)
当 n 为偶数时,cos(nπ) = 1,当 n 为奇数时,cos(nπ) = -1,因此:
当 n 为偶数时,∫[0,π] x·sin(nx) dx = (-1/n)π;
当 n 为奇数时,∫[0,π] x·sin(nx) dx = (1/n)π。
综上所述,xsinnx在[0,π]上的定积分为:
当 n 为偶数时,(-1/n)π;
当 n 为奇数时,(1/n)π。
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