求定积分xcos(x+y),其中0≤x≤Π，0≤y≤x

要求解定积分 $\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{x} x\cos(x+y) \,dy\,dx$。

首先，我们可以将被积函数 $x\cos(x+y)$ 中的 $x$ 独立出来，并将 $y$ 替换为 $u=x+y$，得到：

$$\begin{aligned} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{x} x\cos(x+y) \,dy\,dx &= \int_{0}^{\pi} \int_{x}^{\pi} (u-x)\cos u \,du\,dx \\ &= \int_{0}^{\pi} \cos u \int_{0}^{u} u\,du\,dx - \int_{0}^{\pi} \cos u \int_{0}^{u} x\,du\,dx \\ &= \int_{0}^{\pi} \frac{1}{2}u^2\cos u \,du - \int_{0}^{\pi} \frac{1}{2}u^2\sin u \,du \\ &= \left[\frac{1}{2}u^2\sin u + u\cos u - \frac{1}{2}\sin u\right]_{0}^{\pi} \\ &= \boxed{\pi^2} \end{aligned}$$