∫1-(cosx^2)dcosx^2等于多少
时间: 2024-05-28 22:09:35 浏览: 26
根据积分表,∫(1-cos²x)dx = x - (1/2)sin(2x) + C。 但是您的问题中积分变量是cos²x,而不是x。所以我们需要进行代换。
令 u = cosx,那么 du/dx = -sinx,因此dx = du/-sinx。 现在我们可以用 u 来代替cosx和dx。
∫(1-cos²x)dx = ∫(1-u²)(dx/-sinx) = -∫(1-u²)/sinx du
我们现在必须对∫(1-u²)/sinx进行积分。
∫(1-u²)/sinx du = -∫(u²-1)/sinx du = -∫(u/sinx)² - 1/sinx du
这是反三角函数的积分形式,因此做一个代换v = u/sinx,我们得到
-∫(u/sinx)² - 1/sinx du = -∫v² + 1 dv
= - (1/3)v³ + v + C
= - (1/3)(u/sinx)³ + (u/sinx) + C
= - (cos³x/3sin³x) + (cosx/sinx) + C
将x代回去,最终答案为:
∫(1-cos²x)dx = x - (1/2)sin(2x) - (cos³x/3sin²x) + C
相关问题
计算∫_0^1▒dy ∫_1^y▒(e^(-x^2 )+e^x sinx)dx
首先将二重积分的积分顺序交换,得到:
∫_1^e^(-1)▒(∫_x^1▒e^(-x^2 )dy+∫_x^1▒e^x sinxdy)dx
对于第一个积分,∫e^(-x^2 )dy = ye^(-x^2 ),所以:
∫_x^1▒e^(-x^2 )dy = e^(-x^2 )-xe^(-x^2 )
对于第二个积分,∫e^x sinxdy = -e^x cosx + C,其中C为常数,所以:
∫_x^1▒e^x sinxdy = -e^x cosx + e^(-x) cosx - C
将上述结果代入原式,得到:
∫_1^e^(-1)▒(e^(-x^2 )-xe^(-x^2 )-e^x cosx + e^(-x) cosx + C)dx
对于第一个积分 e^(-x^2 ),可以通过换元法令x=√t,化为高斯积分的形式:
∫e^(-x^2 )dx = ∫e^(-t) / 2√t dt = 1/2 √π erf(x)
其中 erf(x) 表示误差函数。
对于第二个积分 e^x cosx,可以通过分部积分法求出积分结果:
∫e^x cosxdx = e^x cosx + e^x sinx
将上述结果代入原式,得到:
1/2 √π erf(1) - 1/2 √π erf(e^(-1)) - e^(-1) cos1 + cosh(1) + C
其中 cosh(x) 表示双曲余弦函数。
因此,原积分的结果为:
1/2 √π erf(1) - 1/2 √π erf(e^(-1)) - e^(-1) cos1 + cosh(1) + C
∫x(cosx)^2dx
Using integration by parts with u = x and dv = (cos x)²dx, we get:
du = dx
v = ∫(cos x)²dx = (sin x + x/2)(cos x) + C
Thus,
∫x(cos x)²dx = x[(sin x + x/2)(cos x) + C] - ∫[(sin x + x/2)(cos x) + C]dx
= x(sin x + x/2)(cos x) - ∫(sin x)(cos x)dx - C₁x + C₂
= x(sin x + x/2)(cos x) - (cos x) + C₃
= cos x(x/2 + sin x) + C
Therefore, the solution is ∫x(cosx)²dx = cos x(x/2 + sin x) + C.
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