∫x(cosx)^2dx

Using integration by parts with u = x and dv = (cos x)²dx, we get:

du = dx
v = ∫(cos x)²dx = (sin x + x/2)(cos x) + C

Thus,

∫x(cos x)²dx = x[(sin x + x/2)(cos x) + C] - ∫[(sin x + x/2)(cos x) + C]dx
= x(sin x + x/2)(cos x) - ∫(sin x)(cos x)dx - C₁x + C₂
= x(sin x + x/2)(cos x) - (cos x) + C₃
= cos x(x/2 + sin x) + C

Therefore, the solution is ∫x(cosx)²dx = cos x(x/2 + sin x) + C.

相关问题

计算∫(cosx)^4dx

可以使用三角恒等式cos^2x = (1+cos2x)/2来解决这个问题。将（cosx)^4表示为（cos^2x）^2并使用三角恒等式进行替换，可以得到以下结果：

∫(cosx)^4dx = 1/4 ∫(1+cos2x)^2dx

通过展开并对每项进行积分，我们得到：

∫(cosx)^4dx = 1/4 ∫(1+2cos2x+cos^22x)dx

= 1/4 [x + (1/2)sin2x + (1/4)sin^22x] + C

因此，∫(cosx)^4dx的答案是1/4 [x + (1/2)sin2x + (1/4)sin^22x] + C。

∫(x^3cosx+x^6sinx)dx

首先，我们可以使用分部积分法来解决这个积分：

设 $u = x^3$，$dv = \cos x\,dx$，则 $du = 3x^2\,dx$，$v = \sin x$。

根据分部积分公式，我们有：

$$\int x^3 \cos x\,dx = x^3 \sin x - \int 3x^2 \sin x\,dx$$

现在我们需要计算 $\int 3x^2 \sin x\,dx$。再次使用分部积分法：

设 $u = 3x^2$，$dv = \sin x\,dx$，则 $du = 6x\,dx$，$v = -\cos x$。

根据分部积分公式，我们有：

$$\int 3x^2 \sin x\,dx = -3x^2 \cos x + \int 6x \cos x\,dx$$

现在我们需要计算 $\int 6x \cos x\,dx$。再次使用分部积分法：

设 $u = 6x$，$dv = \cos x\,dx$，则 $du = 6\,dx$，$v = \sin x$。

根据分部积分公式，我们有：

$$\int 6x \cos x\,dx = 6x \sin x - \int 6 \sin x\,dx$$

现在我们需要计算 $\int 6 \sin x\,dx$。这是一个简单的积分，可以直接计算得到：

$$\int 6 \sin x\,dx = -6 \cos x + C$$

将以上结果合并，我们可以得到原始积分：

$$\int (x^3 \cos x + x^6 \sin x)\,dx = x^3 \sin x - 3x^2 \cos x - 6x \sin x + 6 \cos x + C$$

其中 $C$ 为积分常数。