∫2(x^3cosx+x^6sinx)dx

我们可以使用分部积分法来求解这个积分。

设 $u(x)=x^3$，$v'(x)=\cos(x)$，则 $v(x)=\sin(x)$，根据分部积分公式可得：

$$\int x^3\cos(x)dx=x^3\sin(x)-\int 3x^2\sin(x)dx$$

再设 $u(x)=x^2$，$v'(x)=\sin(x)$，则 $v(x)=-\cos(x)$，继续应用分部积分公式可得：

$$\int x^3\cos(x)dx=x^3\sin(x)-3x^2\cos(x)+\int 6x\cos(x)dx$$

再设 $u(x)=x$，$v'(x)=\cos(x)$，则 $v(x)=\sin(x)$，继续应用分部积分公式可得：

$$\int x^3\cos(x)dx=x^3\sin(x)-3x^2\cos(x)+6x\sin(x)-\int 6\sin(x)dx$$

化简得到：

$$\int x^3\cos(x)dx=x^3\sin(x)-3x^2\cos(x)+6x\sin(x)+6\cos(x)+C$$

对于 $\int x^6\sin(x)dx$，可以采用类似的方法，设 $u(x)=x^3$，$v'(x)=\sin(x)$，则 $v(x)=-\cos(x)$，根据分部积分公式可得：

$$\int x^6\sin(x)dx=-x^3\cos(x)+\int 3x^2\cos(x)dx$$

再设 $u(x)=x^2$，$v'(x)=\cos(x)$，则 $v(x)=\sin(x)$，继续应用分部积分公式可得：

$$\int x^6\sin(x)dx=-x^3\cos(x)+3x^2\sin(x)-\int 6x\sin(x)dx$$

再设 $u(x)=x$，$v'(x)=-\sin(x)$，则 $v(x)=\cos(x)$，继续应用分部积分公式可得：

$$\int x^6\sin(x)dx=-x^3\cos(x)+3x^2\sin(x)+6x\cos(x)-\int 6\cos(x)dx$$

化简得到：

$$\int x^6\sin(x)dx=-x^3\cos(x)+3x^2\sin(x)+6x\cos(x)-6\sin(x)+C$$

因此，原积分为：

$$\int 2(x^3\cos(x)+x^6\sin(x))dx=2(x^3\sin(x)-3x^2\cos(x)+6x\sin(x)+6\cos(x)-x^3\cos(x)+3x^2\sin(x)+6x\cos(x)-6\sin(x))+C$$

化简后得到：

$$\int 2(x^3\cos(x)+x^6\sin(x))dx=2(x^3\sin(x)+x^6\sin(x)-3x^2\cos(x)+12x\cos(x)-6\sin(x))+C$$

其中 $C$ 为常数。