计算ln(1+1/x)/(sinx*(cos2x+1))的不定积分

首先，化简被积函数：

ln(1 1/x) = ln(x/(x-1)) = ln x - ln(x-1)

cos2x 1 = (1 + cos2x)/2 = (1 + 2cos2x - 1)/2 = cos2x + 1/2

因此，被积函数可以写成：

(ln x - ln(x-1))/(sinx*(cos2x + 1/2))

接下来，分部积分法：

设f(x) = ln x - ln(x-1)，g(x) = 1/(sinx*(cos2x + 1/2))

f'(x) = 1/x - 1/(x-1)，g'(x) = (-sinx*cos2x - sinx)/(sinx^2*(cos2x + 1/2)^2)

积分式可以写成：

∫f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - ∫g(x)f'(x)dx

计算f(x)g(x)：

f(x)g(x) = (ln x - ln(x-1))/(sinx*(cos2x + 1/2))

计算∫g(x)f'(x)dx：

∫g(x)f'(x)dx = ∫(-sinx*cos2x - sinx)/(sinx^2*(cos2x + 1/2)^2)*(1/x - 1/(x-1))dx

化简：

∫g(x)f'(x)dx = ∫(-cos2x - 1/2)/(sinx*(cos2x + 1/2)^2)dx + ∫(cos2x + 1/2)/(sinx^2*(cos2x + 1/2)^2)dx

对于第一个积分，令u = cos2x + 1/2，du = -2sin2xdx，得到：

∫(-cos2x - 1/2)/(sinx*(cos2x + 1/2)^2)dx = -∫du/u^2 = 1/u + C = 2/(2cos2x + 1) + C

对于第二个积分，可以使用三角恒等式sin2x = 2sinx*cosx：

∫(cos2x + 1/2)/(sinx^2*(cos2x + 1/2)^2)dx = ∫(cos2x + 1/2)/(2sinx*cos2x)^2*(2cosx)dx

令u = cos2x，du = -sin2xdx，得到：

∫(cos2x + 1/2)/(sinx^2*(cos2x + 1/2)^2)dx = -1/sin2x + ∫du/(2u^2) = -1/(2sinxcos2x) + 1/(4cos2x) + C

将f(x)g(x)和∫g(x)f'(x)dx代入分部积分公式，得到：

∫(ln x - ln(x-1))/(sinx*(cos2x + 1/2))dx = (ln x - ln(x-1))*[2/(2cos2x + 1)] - [2/(2sinxcos2x) - 1/(4cos2x)] + C

化简可得：

∫(ln x - ln(x-1))/(sinx*(cos2x + 1/2))dx = ln(x*(2cos2x + 1)/(2sinxcos2x*(x-1))) + 1/(4cos2x) + C

因此，原式的不定积分为：

ln(x*(2cos2x + 1)/(2sinxcos2x*(x-1))) + 1/(4cos2x) + C