(sinx*cosx)/(sinx+cosx)的不定积分
时间: 2024-02-23 10:56:31 浏览: 25
这个积分可以通过换元法来求解,具体步骤如下:
令u = sin(x) + cos(x),则有du/dx = cos(x) - sin(x)
将u = sin(x) + cos(x)代入被积函数,则有:
sin(x)*cos(x)/(sin(x) + cos(x)) = (u^2 - 1)/2u
将被积函数中的sin(x)*cos(x)用(1/2)sin(2x)表示,得到:
(1/2) ∫ [(sin(2x)/(2u)) - (1/u)] dx
对于第一项,可以通过换元法来求解,令v = 2x,则有:
∫ (sin(2x)/(2u)) dx = (1/2) ∫ (sin(v)/u) dv = (1/2) ln|sin(v) + cos(v)| + C1
对于第二项,可以直接使用求导反函数的方法来求解,令f(u) = ln(u),则有f'(u) = 1/u,因此:
∫ (1/u) dx = ln|u| + C2 = ln|sin(x) + cos(x)| + C2
将两个结果合并,即可得到原积分的结果:
∫ (sin(x)*cos(x))/(sin(x) + cos(x)) dx = (1/2) ln|sin(2x) + 2cos(x)| - ln|sin(x) + cos(x)| + C
其中C为任意常数。
相关问题
请帮我用C语言求解1/(sinx*(sinx+cosx))的不定积分
由于1/(sinx*(sinx cosx)) = 1/(sin^2x*cosx),所以可以按照以下步骤求解不定积分:
1. 令u = sinx,du/dx = cosx,dx = du/cosx
2. 将不定积分转化为关于u的积分,得到 ∫(1/(sin^2x*cosx))dx = ∫(1/(u^2*(1-u^2)))du
3. 分解分式,得到 ∫(1/(u^2*(1-u^2)))du = ∫(1/u^2)du - ∫(1/(1-u^2))du
4. 对于第一个积分,直接计算得到 ∫(1/u^2)du = -1/u + C1,其中C1为常数
5. 对于第二个积分,令v = u^2,dv/du = 2u,du = dv/(2u),得到 ∫(1/(1-u^2))du = ∫(1/(1-v)*1/(2u))dv = (1/2)∫[(1/(1-v))d(1/u)]dv
6. 对于上式中的括号内的积分,使用分部积分法,令f = 1/(1-v),dg = d(1/u),得到 f' = (d/dv)(1/(1-v)) = 1/(1-v)^2,g = ln|u|
7. 带入分部积分公式,得到 ∫[(1/(1-v))d(1/u)]dv = [(1/(1-v))*ln|u|] - ∫[(1/(1-v)^2)*ln|u|]dv
8. 对于上式中的第一个积分,带入u = sinx,得到 [(1/(1-v))*ln|u|] = [(1/(1-u^2))*ln|sinx|] + C2,其中C2为常数
9. 对于上式中的第二个积分,使用分部积分法,令f = 1/(1-v)^2,dg = ln|u|,得到 f' = (d/dv)(1/(1-v)^2) = 2/(1-v)^3,g = u*ln|u| - u
10. 带入分部积分公式,得到 ∫[(1/(1-v)^2)*ln|u|]dv = [(u*ln|u| - u)/(1-v)^2] - 2∫[(u/(1-v)^3)*du] = [(u*ln|u| - u)/(1-v)^2] + 2∫[(sinx/(1-sin^2x)^3)*dx]
11. 将第5步到第10步的结果带回原式,得到 ∫(1/(sin^2x*cosx))dx = (-1/u + C1) - [(1/(1-u^2))*ln|sinx| + C2] + [(2*u*ln|u| - 2*u)/(1-v)^2] + 2∫[(sinx/(1-sin^2x)^3)*dx]
12. 将u和v用sinx表示,得到 ∫(1/(sin^2x*cosx))dx = (-1/sinx + C1) - [(1/(cos^2x))*ln|sinx| + C2] + [(2*sinx*ln|sinx| - 2*sinx*cosx)/(1-sin^2x)^2] + 2∫[(1/sin^3x)*dx]
因此,∫(1/(sinx*(sinx cosx)))dx = (-1/sinx + C1) - [(1/(cos^2x))*ln|sinx| + C2] + [(2*sinx*ln|sinx| - 2*sinx*cosx)/(1-sin^2x)^2] + 2∫[(1/sin^3x)*dx],其中C1和C2为常数。
cos^2x/(sinx+cosx)的不定积分
这道题可以通过变形和分部积分来求解。
首先,我们可以将 cos^2x 分解为 1-sin^2x,得到:
∫cos^2x/(sinx+cosx)dx = ∫(1-sin^2x)/(sinx+cosx)dx
接下来,我们进行变量代换,令 u = sinx + cosx,那么有:
du/dx = cosx - sinx
dx = du/(cosx-sinx)
将 x 表示为 u 的函数,得到:
x = arctan((u-1)/sqrt(2)) + π/4
将 dx 代入原式中,得到:
∫cos^2x/(sinx+cosx)dx = ∫(1-sin^2x)/(sinx+cosx)dx
= ∫(1-u^2+2u-1)/(u*√2)du/(cosx-sinx)
= ∫(2u - u^2)/(u*√2)du/(cosx-sinx)
= 2√2∫(1-u)/(u^2-2u+2)du
接下来,我们进行分部积分,令 u^2-2u+2 = t,那么有:
du = (t-2)dt/(2u-2)
将 du 代入原式中,得到:
∫(1-u)/(u^2-2u+2)du = ∫(t-4)/(4(t-1))dt
= 1/4∫(t-1-3)/(t-1)dt
= 1/4∫(1+3/(t-1))dt
= 1/4(t+3ln|t-1|) + C
将 t 代回原式,得到:
∫cos^2x/(sinx+cosx)dx = 1/4(2sinx + 3ln|sinx+cosx|) + C
综上所述,cos^2x/(sinx+cosx)的不定积分为 1/4(2sinx + 3ln|sinx+cosx|) + C。